Реферат: Внесок Л. Ейлера в розвиток математичного аналізу

план

Вступ

1 Поняття математичного аналізу. історичний нарис

2 Внесок Л. Ейлера в розвиток математичного аналізу

3 Подальший розвиток математичного аналізу

висновок

Список літератури

Вступ

Л. Ейлер - найпродуктивніший математик в історії, автор більш ніж 800 робіт з математичного аналізу, диференціальної геометрії, теорії чисел, наближеним обчисленням, небесної механіки, математичної фізики, оптики, балістики, кораблебудування, теорії музики та ін. Багато його роботи мали значний вплив на розвиток науки.

Майже півжиття Ейлер провів у Росії, де енергійно допомагав створювати російську науку. У 1726 році він був запрошений працювати в Санкт-Петербург. У 1731-1741 і починаючи з 1766 року було академіком Петербурзької Академії Наук (в 1741-1766 роках працював в Берліні, залишаючись почесним членом Петербурзької Академії). Добре знав російську мову, частину своїх творів (особливо підручники) публікував російською. Перші російські академіки з математики (С. К. Котельников), і по астрономії (С. Я. Румовскій) були учнями Ейлера. Деякі з його нащадків до сих пір живуть в Росії.

Л. Ейлер вніс дуже великий внесок в розвиток математичного аналізу.

Мета реферату - вивчити історію розвитку математичного аналізу в XVIII столітті.

1 Поняття математичного аналізу. історичний нарис

Математичний аналіз - сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій і їх узагальнень методами диференціального й інтегрального числення. При настільки загальної трактуванні до аналізу слід віднести і функціональний аналіз разом з теорією інтеграла Лебега, комплексний аналіз (ТФКЗ), що вивчає функції, задані на комплексній площині, нестандартний аналіз, який вивчає нескінченно малі і нескінченно великі числа, а також варіаційне числення.

У навчальному процесі до аналізу відносять

· Диференціальне й інтегральне числення

· Теорію рядів (функціональних, статечних і Фур'є) і багатовимірних інтегралів

· Векторний аналіз.

При цьому елементи функціонального аналізу і теорії інтеграла Лебега даються факультативно, а ТФКЗ, варіаційне числення, теорія диференціальних рівнянь читаються окремими курсами. Строгість викладу слід зразкам кінця XIX століття і зокрема використовує наївну теорію множин.

Попередниками математичного аналізу були античний метод вичерпання і метод неподільних. Всі три напрямки, включаючи аналіз, ріднить загальна вихідна ідея: розкладання на нескінченно малі елементи, природа яких, втім, представлялася авторам ідеї досить туманно. Алгебраїчний підхід (обчислення нескінченно малих) починає з'являтися у Валліса, Джеймса Грегорі і Барроу. Повною мірою нове літочислення як систему створив Ньютон, який, однак, довгий час не публікував свої відкриття. [1]

Офіційною датою народження диференціального обчислення можна вважати травень 1684, коли Лейбніц опублікував першу статтю «Новий метод максимумів і мінімумів ...» [2] . Ця стаття в стислій і малодоступною формі викладала принципи нового методу, названого диференціальним численням.

В кінці XVII століття навколо Лейбніца виникає гурток, найвизначнішими представниками якого були брати Бернуллі, Якоб і Йоганн, і Лопиталь. У 1696, використовуючи лекції І. Бернуллі, Лопиталь написав перший підручник [3] , Що викладав новий метод в застосуванні до теорії плоских кривих. Він назвав його «Аналіз нескінченно малих», давши тим самим і одна з назв новому розділу математики. В основу викладу покладено поняття змінних величин, між якими є певний зв'язок, через яку зміна однієї тягне зміну іншої. У Лопиталя цей зв'язок дається за допомогою плоских кривих: якщо M - рухома точка плоскої кривої, то її декартові координати x і y, іменовані діаметром і ординатою кривої, суть змінні, причому зміна x тягне зміна y. Поняття функції відсутній: бажаючи сказати, що залежність змінних задана, Лопиталь каже, що «відома природа кривої». Поняття диференціала вводиться так:

«Нескінченно мала частина, на яку безперервно збільшується або зменшується змінна величина, називається її диференціалом ... Для позначення диференціала змінної величини, яка сама виражається однією буквою, ми будемо користуватися знаком або символом d. [4] http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0 % B5% D1% 81% D0% BA% D0% B8% D0% B9_% D0% B0% D0% BD% D0% B0% D0% BB% D0% B8% D0% B7 - cite_note-4 # cite_note-4 ... Нескінченно мала частина, на яку безперервно збільшується або зменшується диференціал змінної величини, називається ... другим диференціалом ». [5]

Ці визначення пояснюються геометрично, при цьому на малюнку нескінченно малі збільшення зображені кінцевими. Розгляд спирається на два вимоги (аксіоми). перше:

Потрібно, щоб дві величини, що відрізняються один від одного лише на нескінченно малу величину, можна було брати байдуже одну замість іншої. [6]

Звідси виходить x + dx = x, далі

dxy = (x + dx) (y + dy) - xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx) dy + ydx = xdy + ydx

та ін. правила диференціювання. Друга вимога говорить:

Потрібно, щоб можна було розглядати криву лінію як сукупність нескінченної кількості нескінченно малих прямих ліній.

Продовження кожної такої лінії називається дотичній до кривої. [7] Досліджуючи дотичну, що проходить через точку M = (x, y), Лопиталь надає великого значення величиною

,

досягає екстремальних значень в точках перегину кривої, стосовно ж dy до dx не надає ніякого особливого значення.

Примітно знаходження точок екстремуму. Якщо при безперервному збільшенні діаметра x ордината y спочатку зростає, а потім зменшується, то диференціал dy спочатку позитивний порівняно з dx, а потім негативний.

Але будь-яка безперервно зростаюча або спадна величина не може перетворитися з позитивною в негативну, не проходячи через нескінченність або нуль ... Звідси випливає, що диференціал найбільшою і найменшою величини повинен дорівнювати нулю або нескінченності.

Ймовірно, це формулювання не бездоганна, якщо згадати про перший вимозі: нехай, скажімо, y = x2, тоді в силу першої вимоги

2xdx + dx2 = 2xdx;

в нулі права частина дорівнює нулю, а ліва немає. Мабуть слід сказати, що dy можна перетворити у відповідності з першою вимогою так, щоб в точці максимуму dy = 0. У прикладах все само собою зрозуміло, і лише в теорії точок перегину Лопиталь пише, що dy дорівнює нулю в точці максимуму, будучи розділений на dx [8]

Далі, за допомогою одних диференціалів формулюються умови екстремуму і розглянуто велику кількість складних завдань, що відносяться в основному до диференціальної геометрії на площині. В кінці книги, в гл. 10, викладено те, що тепер називають правилом Лопіталя, хоча і в не зовсім звичній формі. Нехай величина ординати y кривої виражена дробом, чисельник і знаменник якого звертаються в нуль при x = a. Тоді точка кривої з x = a має ординату y, рівну відношенню диференціала чисельника до диференціалу знаменника, взятому при x = a.

За задумом Лопиталя написане ним становило першу частину «Аналізу», друга ж повинна була містити інтегральне числення, тобто спосіб відшукання зв'язку змінних за відомою зв'язку їх диференціалів. Перше його виклад дано Іоганном Бернуллі в його «Математичних лекціях про метод інтеграла» [9] . Тут дано спосіб взяття більшості елементарних інтегралів і вказані методи вирішення багатьох диференціальних рівнянь першого порядку.

2 Внесок Л. Ейлера в розвиток математичного аналізу

Леонард Ейлер (Euler, Leonhard) (1707-1783) входить до першої п'ятірки найбільших математиків всіх часів і народів. Народився в Базелі (Швейцарія) 15 квітня 1707 в сім'ї пастора і провів дитинство в прилеглому селищі, де його батько отримав парафію. Тут на лоні сільської природи, в благочестивій обстановці скромного пасторського будинку Леонард здобув початкову виховання, яка наклала глибокий відбиток на всю його подальше життя і світогляд. Навчання в гімназії в ті часи було нетривалим. Восени 1720 тринадцятирічний Ейлер поступив до Базельського університету, через три роки закінчив нижчий - філософський факультет і записався, за бажанням батька, на теологічний факультет. Влітку тисяча сімсот двадцять чотири на річному університетському акті він прочитав по-латині мова про порівняння картезіанської і ньютоніанской філософії. Проявивши інтерес до математики, він привернув до себе увагу Йоганн Бернуллі. Професор став особисто керувати самостійними заняттями юнаки і невдовзі публічно визнав, що від проникливості і гостроти розуму юного Ейлера він очікує найбільших успіхів.

Ще в 1725 Леонард Ейлер висловив бажання супроводжувати синів свого вчителя в Росію, куди вони були запрошені в відкривалася тоді - з волі Петра Великого - Петербурзьку Академію наук. На наступний рік отримав запрошення і сам. Покинув Базель навесні 1727 і після семинедельного подорожі прибув до Петербурга. Тут він був зарахований спочатку ад'юнктом по кафедрі вищої математики, в 1731 став академіком (професором), отримавши кафедру теоретичної та експериментальної фізики, а потім (1733) кафедру вищої математики.

Відразу ж після приїзду в Петербург він повністю занурився в наукову роботу і тоді ж вразив усіх плідністю своєї діяльності. Численні його статті в академічних щорічниках, спочатку присвячені переважно завданням механіки, скоро принесли йому всесвітню популярність, а пізніше сприяли і славі петербурзьких академічних видань в Західній Європі. Безперервний потік творів Ейлера друкувався з тих пір в працях Академії протягом цілого століття.

Поряд з теоретичними дослідженнями, Ейлер приділяв багато часу і практичної діяльності, виконуючи численні доручення Академії наук. Так, він обстежив різноманітні прилади та механізми, брав участь в обговоренні способів підйому великого дзвону в Московському кремлі і т.п. Одночасно він читав лекції в академічній гімназії, працював в астрономічній обсерваторії, співпрацював у виданні Санкт-Петербурзьких відомостей, вів велику редакційну роботу в академічних виданнях та ін. У 1735 Ейлер прийняв участь в роботі Географічного департаменту Академії, внісши великий внесок у розвиток картографії Росії. Невтомна працездатність Ейлера була перервана навіть повною втратою правого ока, яка спіткала його в результаті хвороби в 1738.

Восени 1740 внутрішня обстановка в Росії ускладнилася. Це спонукало Ейлера прийняти запрошення прусського короля, і влітку +1741 він переїхав до Берліна, де незабаром очолив математичний клас в реорганізованої Берлінської Академії наук і словесності. Роки, проведені Ейлером в Берліні, були найбільш плідними в його науковій діяльності. На цей період падає і його участь в ряді гострих філософсько-наукових дискусій, в тому числі про принцип найменшої дії. Переїзд в Берлін не перервав, проте, тісних зв'язків Ейлера з Петербурзькою Академією наук. Він як і раніше регулярно посилав до Росії свої твори, брав участь у різного роду експертизах, навчав посланих до нього з Росії учнів, підбирав вчених на заміщення вакантних посад в Академії і виконував багато інших доручень.

Релігійність і характер Ейлера не відповідали оточенню «вільнодумного» Фрідріха Великого. Це призвело до поступового ускладнення відносин між Ейлером і королем, який при цьому чудово розумів, що Ейлер є гордістю Королівської Академії. В останні роки свого берлінської життя Ейлер виконував фактично обов'язки президента Академії, але посади цієї так і не отримав. В результаті влітку одна тисяча сімсот шістьдесят шість, незважаючи на опір короля, Ейлер прийняв запрошення Катерини Великої і повернувся до Петербурга, де залишався потім до кінця свого життя.

У тому ж 1766 Ейлер майже повністю втратив зір і на ліве око. Однак це не завадило продовження його діяльності. За допомогою декількох учнів, які писали під його диктовку і оформляли його праці, напівсліпий Ейлер підготував в останні роки свого життя ще кілька сотень наукових робіт.

На початку вересня 1783 Ейлер відчув легке нездужання. 18 вересня він ще займався математичними дослідженнями, але несподівано знепритомнів і, за влучним висловом панегіриста, «припинив обчислювати і жити».

Похований на Смоленському лютеранському кладовищі в Петербурзі, звідки його прах перенесено восени 1956 в некрополь Олександро-Невської лаври.

Наукова спадщина Леонарда Ейлера колосально. Йому належать класичні результати в математичному аналізі. Він просунув його обгрунтування, істотно розвинув інтегральне числення, методи інтегрування звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь в приватних похідних. Ейлера належить знаменитий шеститомний курс математичного аналізу, що включає «Введення в аналіз нескінченно малих», «Диференціальне числення» і «Інтегральне числення» (1748-1770). На цій «аналітичної трилогії» вчилися багато поколінь математиків усього світу.

Ейлер отримав основні рівняння варіаційного обчислення і визначив шляхи подальшого його розвитку, підвівши головні підсумки своїх досліджень в цій області в монографії «Метод знаходження кривих ліній, що володіють властивостями максимуму або мінімуму» (1 744). Значні заслуги Ейлера в розвиток теорії функцій, диференціальної геометрії, обчислювальної математики, теорії чисел. Двотомний курс Ейлера «Повне керівництво з алгебри» (1770) витримав близько 30 видань на шести європейських мовах.

Фундаментальні результати належать Леонарда Ейлера в раціональної механіки. Він вперше дав послідовно аналітичне виклад механіки матеріальної точки, розглянувши у своїй двотомній «Механіці» (1736) рух вільної і невільної точки у просторі і в чинять опір середовищі. Пізніше Ейлер заклав основи кінематики і динаміки твердого тіла, отримавши відповідні загальні рівняння. Підсумки цих досліджень Ейлера зібрані в його «Теорії руху твердих тіл» (1765). Сукупність рівнянь динаміки, що представляють закони кількості руху і моменту кількості руху, найбільший історик механіки Кліффорд Трусделл запропонував називати «ейлерову законами механіки».

У 1752 була опублікована стаття Ейлера «Відкриття нового принципу механіки», в якій він сформулював у загальному вигляді Ньютонови рівняння руху в нерухомій системі координат, відкривши шлях для вивчення механіки суцільних середовищ. На цій основі він дав висновок класичних рівнянь гідродинаміки ідеальної рідини, знайшовши і ряд їх перших інтегралів. Істотними є його роботи з акустики. При цьому йому належить введення як «ейлерових» (пов'язаних з системою відліку спостерігача), так і «лагранжевих» (в супутньої рухається об'єкту системі відліку) координат.

Чудові численні роботи Ейлера з небесної механіки, серед яких найбільш відома його «Нова теорія руху Місяця» (1772), істотно просунулися найважливіший для мореплавства того часу розділ небесної механіки.

Поряд із загальнотеоретичними дослідженнями, Ейлера належить ряд важливих робіт з прикладних наук. Серед них перше місце займає теорія корабля. Питання плавучості, остійності корабля і інших його морехідних якостей були розроблені Ейлером в його двотомній «Корабельної науці» (1749), а деякі питання будівельної механіки корабля - в наступних роботах. Більш доступний виклад теорії корабля він дав в «Повній теорії будови і водіння кораблів» (1773), яка використовувалася в якості практичного керівництва не тільки в Росії.

Значний успіх мали коментарі Ейлера до «Новим засадам артилерії» Б.Робінса (1745), що містили, поряд з іншими його творами, важливі елементи зовнішньої балістики, а також роз'яснення гідродинамічного «парадоксу Даламбера». Ейлер заклав теорію гідравлічних турбін, поштовхом для розвитку якої стало винахід реактивного «сегнерова колеса». Йому належить і створення теорії стійкості стрижнів при поздовжньому навантаженні, яка купила особливу важливість через століття.

Багато робіт Ейлера присвячено різним питанням фізики, головним чином геометричній оптиці. Особливої ​​згадки заслуговують видані Ейлером три томи «Листів до німецької принцесі про різні предмети фізики і філософії» (1768-1772), які витримали згодом близько 40 видань на дев'яти європейських мовах. Ці «Листи» були свого роду навчальним посібником з основ науки того часу, хоча власне філософська сторона їх і не відповідала духу епохи Просвітництва.

Сучасна п'ятитомна «Математична енциклопедія» вказує двадцять математичних об'єктів (рівнянь, формул, методів), які носять зараз ім'я Ейлера. Його ім'я носить і ряд фундаментальних рівнянь гідродинаміки і механіки твердого тіла.

Поряд з численними власне науковими результатами, Ейлера належить історична заслуга створення сучасного наукового мови. Він є єдиним автором середини XVIII ст., Праці якого читаються навіть сьогодні без жодних зусиль.

Петербурзький архів Російської Академії наук зберігає, крім того, тисячі сторінок неопублікованих досліджень Ейлера, переважно в області механіки, велике число його технічних експертиз, математичні «записні книжки» і колосальну наукову кореспонденцію.

Його науковий авторитет за життя був безмежний. Він складався почесним членом усіх найбільших академій і вчених суспільств світу. Вплив його праць було досить значним і в XIX ст. У 1849 Карл Гаусс писав, що «вивчення всіх робіт Ейлера залишиться назавжди кращої, нічим не замінної, школою в різних областях математики».

Загальний обсяг творів Ейлера величезний. Понад 800 його опублікованих наукових робіт складають близько 30 000 друкованих сторінок і складаються в основному з наступного: 600 статей у виданнях Петербурзької Академії наук, 130 статей, опублікованих в Берліні, 30 статей в різних журналах Європи, 15 мемуарів, удостоєних премій і заохочень Паризької Академії наук, і 40 книг окремих творів. Все це складе 72 томи близького до завершення «Повного зібрання праць» (Opera omnia) Ейлера, видаваного в Швейцарії з 1911 року всі роботи друкуються тут на тій мові, на якому вони були спочатку опубліковані (тобто на латинській і французькій мовах, які були в середині XVIII ст. основними робочими мовами, відповідно, Петербурзької і Берлінської академій). До цього додасться ще 10 томів його Наукової листування, до видання якої приступили в 1975.

Треба відзначити особливе значення Ейлера для Петербурзької Академії наук, з якою він був тісно пов'язаний протягом понад півстоліття. «Разом з Петром I і Ломоносовим, - писав академік С. І. Вавилов, - Ейлер став добрим генієм нашої Академії, що визначив її славу, її фортецю, її продуктивність». Можна додати ще, що справи Петербурзької академії велися протягом майже цілого століття під керівництвом нащадків і учнів Ейлера: неодмінними секретарями Академії з 1769 до 1855 були послідовно його син, зять сина і правнук.

Він виростив трьох синів. Старший з них був петербурзьким академіком по кафедрі фізики, другий - придворним лікарем, а молодший - артилерист дослужився до чину генерал-лейтенанта. Майже всі нащадки Ейлера взяли в XIX в. російське підданство. Серед них були вищі офіцери російської армії і флоту, а також державні діячі та вчені. Лише в смутні часи початку XX ст. багато з них змушені були емігрувати. Сьогодні прямі нащадки Ейлера, що носять його прізвище, все ще живуть в Росії і Швейцарії.

Зміни в математичному аналізі відображені в трактаті Ейлера. Виклад аналізу відкриває двотомне «Введення», де зібрані вишукування про різні уявленнях елементарних функцій. Термін «функція» вперше з'являється лише в 1692 у Лейбніца, однак на перші ролі його висунув саме Ейлер. Початкова трактування поняття функції полягала в тому, що функція - це вираз для рахунку (нім. Rechnungsausdrϋck) або аналітичний вираз. [10]

Функція змінного кількості є аналітичний вираз, складене якимось чином з цієї змінної кількості і чисел або постійних кількостей. [11]

Підкреслюючи, що «основна відмінність функцій лежить в способі складання їх з змінного і постійних», Ейлер перераховує дії, «за допомогою яких кількості можуть один з одним поєднуватися і перемішуватися; діями цими є: додавання і віднімання, множення і ділення, піднесення до степеня і витяг коренів; сюди ж слід віднести також рішення алгебраїчних рівнянь. Крім цих дій, які називаються алгебраїчними, існує багато інших, трансцендентних, як-то: показникові, логарифмічні і незліченні інші, що доставляються інтегральним обчисленням ». [12] Таке трактування дозволяла без праці звертатися з багатозначними функціями і не вимагала пояснень, над яким полем розглядається функція: вираз для рахунку визначено для комплексних значень змінних навіть тоді, коли для даної задачі це не потрібно.

Операції в вираженні допускалися лише в кінцевому числі, а трансцендентне проникало за допомогою нескінченно великого числа . У виразах це число використовується поряд з натуральними числами. Напр., Вважається допустимим такий вираз для експоненти

,

в якому лише пізні автори бачили граничний перехід. З аналітичними виразами проводилися різноманітні перетворення, що дозволили Ейлера знайти уявлення для елементарних функцій у вигляді рядів, нескінченних творів і т. Д. Ейлер перетворює вирази для рахунку так, як це роблять в алгебрі, не звертаючи уваги на можливість обчислити значення функції в точці по кожній з написаних формул.

На відміну від Лопиталя Ейлер докладно розглядає трансцендентні функції і особливо два найбільш вивчені їх класи - показові та тригонометричні. Він виявляє, що всі елементарні функції можуть бути виражені за допомогою арифметичних дій і двох операцій - взяття логарифма та експоненти [13] .

Сам хід докази прекрасно демонструє техніку використання нескінченно великого. Визначивши синус і косинус за допомогою тригонометричного кола, Ейлер виводить з формул додавання наступне:

а звідси

вважаючи і z = nx, він отримує

,

відкидаючи нескінченно малі величини більшого порядку. Використовуючи це і аналогічне вираз, Ейлер отримує і свою знамениту формулу

.

Вказавши різні вирази для функцій, які тепер називають елементарними, Ейлер переходить до розгляду кривих на площині, накресленим вільним рухом руки. На його думку, не для будь-якої такої кривої можна відшукати єдине аналітичне вираз. У XIX столітті з подачі Казораті [14] це твердження вважалося помилковим: по теоремі Вейерштрасса всяка безперервна в сучасному сенсі крива може бути наближено описана поліномами. Насправді Ейлера це чи переконало, адже потрібно ще переписати граничний перехід за допомогою символу .

Виклад диференціального обчислення Ейлер починає з теорії кінцевих різниць, за ним в третьому розділі слід філософське роз'яснення про те, що «нескінченно малу кількість є точно нуль», більш за все не влаштувало сучасників Ейлера. Потім з кінцевих різниць при нескінченно малому збільшенні утворюються диференціали, а з інтерполяційної формулу Ньютона - формула Тейлора. Цей метод в істотному сходить до робіт Тейлора (1715 г.). При цьому у Ейлера з'являється стійке ставлення , Яке, однак, розглядається як відношення двох нескінченно малих. Останні глави присвячені наближеному обчисленню за допомогою рядів.

У тритомній інтегральному численні Ейлер трактує поняття інтеграла так:

«Та функція, диференціал якої = Xdx, називається його інтегралом і позначається знаком S, поставленим попереду». [15]

В цілому ж ця частина трактату Ейлера присвячена більш спільної з сучасної точки зору задачі про інтегрування диференціальних рівнянь. При цьому Ейлер знаходить ряд інтегралів і диференціальних рівнянь, які призводять до нових функцій, напр., Γ-функції, еліптичні функції і т. Д. Суворе доказ їхньої Неелементарні було дано в 1830-х роках Якобі для еліптичних функцій і Ліувілль.