ЗАВЖДИ 1: 1 ОДНО 135000: 135000?

<

>

Як не дивно це сказати,
а мистецтво вимагає ще більшої
точності, ніж наука.
Лев Толстой.

В оповіданні "Севастополь в травні" Л. Н. Толстой пропонує замінити бій армій поєдинком двох солдатів:

"... яка б була різниця між одним російським, що воював проти одного представника союзників, і між 80 тисячами російських, які воюють проти 80 тисяч? Чому НЕ 135 тисяч проти 135 тисяч? Чому не 20 тисяч проти 20 тисяч? Чому не один проти одного? Ніяк одне не логічніше іншого ".

Ця пропозиція - тільки жарт, бій ніяк не зводиться до серії поєдинків. І не можна вважати, що "один проти одного все одно, що сто тридцять п'ять тисяч проти ста тридцяти п'яти тисяч". Проти цього заперечує теорія ймовірностей, один з найважливіших розділів математики, що вивчає ситуацію, в яких може бути кілька непередбачуваних наслідків (в нашому випадку у поєдинку їх два). Кожному результату ставиться у відповідність його ймовірність, позитивне число p, що не перевищує 1.

Теорія ймовірностей застосовна тільки до багаторазово повторюється подій. Наприклад, якщо одна людина мала контакт із заразним хворим, то він може заразитися, а може і не заразитися. Але якщо в місті з'являться сотні хворих з гостро заразним захворюванням, за допомогою теорії ймовірностей можна передбачити швидкість поширення епідемії.

При виконанні деяких, цілком природних, умов проявляється наступне найважливіше властивість ймовірності.

Нехай ймовірність одного результату деякого явища дорівнює p, і нехай це явище повторюється багаторазово N раз. Тоді цей результат станеться приблизно pN раз.

Якщо замість виразів "природні умови", "приблизно" і так далі підставити точні формули, отримаємо закон великих чисел. Така назва пов'язана з тим, що чим більше N, тим точніше він виконується. Цей закон дозволяє передбачати результати подій з "непередбачуваним" результатом. Суть його полягає в наступному.

Якщо явище підпорядковується імовірнісним законам і повторюється багато разів, можна заздалегідь досить точно передбачити, скільки разів відбудеться кожен з можливих його наслідків, хоча неможливо заздалегідь передбачити результат в кожному конкретному випадку.

Розглянемо найпростіший досвід - кидання монети. У нього два виходи: монета може впасти орлом або решкою. Обом наслідків природно приписати рівні ймовірності 0,5. Тому, спираючись на закон великих чисел, можна сміливо стверджувати, що, якщо монету кинути 1000 разів, орел випаде приблизно 500 раз. І такі досліди проводилися: американський статистик А. К. Пірсон кинув монету 24000 разів, отримавши 12012 гербів.

Атоми радіоактивних ізотопів мимовільно розпадаються, причому можна обчислити вірогідність p розпаду атома за деякий час. А розрахувавши за законом великих чисел час, за який розпадеться половина атомів елемента, ми отримаємо найважливішу його характеристику - період напіврозпаду.

Приклад з біології - досвід Грегора Менделя, який сіяв гібридне насіння гороху жовтого кольору, а отримував жовті й зелені насіння, причому відносно приблизно 3: 1. Згодом, з розвитком генетики, було знайдено біологічне обґрунтування цього явища, названого "розщепленням ознак".

Дивно, що не тільки атоми і насіння рослин, але і поведінку людей підкоряється закону ймовірності. Людина часто не знає, як він надійде в певній ситуації, а плануючи справу, в якому повинно брати участь багато людей, необхідно передбачити їх поведінку. На щастя, часто можна прямо або побічно оцінити ймовірність вибору людиною одного варіанту поведінки з кількох можливих і оцінити, скільки народу буде вести себе відповідним чином.

А тепер спробуємо знову повернутися до Л. Н. Толстому. У міркуваннях про роль особистості в історії, щедро розкиданих по роману "Війна і мир", він виходить з того, що кожна історична подія - результат дії величезного числа людей. Дії цих людей непередбачувані, і, отже, ніхто не може своїми діями вплинути на хід історії. "Такий же причиною (війни. - І. Г.), як відмова Наполеона відвести війська за Віслу ... представляється нам і бажання або небажання першого французького капрала надійти на вторинну службу, бо, якщо б він не захотів йти на службу і не захотів би інший і третій, і тисячний капрал і солдатів, настільки менше людей було б у війську Наполеона, і війни не могло б бути ".

Письменник розмірковує від протилежного: якщо визнати, що хід історичних подій залежав від рішень Наполеона, то виходить, що він залежав також і від рішень першого, другого і всіх інших капралів.

Але Наполеон один, а капралів багато, і тому рішення Наполеона не підкоряються закону великих чисел, а рішення капралів йому підкоряються. Можна оцінити, скільки їх запишеться на другий термін навесні 1812 року, обчисливши відповідну ймовірність за даними за 1811 рік.

Неможливо було передбачити заздалегідь, підпишеться чи на другий термін конкретний капрал Жак. Навіть якщо вивчити його особистість і всі його обставини, отримати точну відповідь неможливо, оскільки людина здатна на несподівані, непередбачувані вчинки. Але поведінка багатотисячної маси солдат підпорядковувалося законам теорії ймовірностей.

Наполеон навряд чи, звичайно, міркував так само, але на підставі досвіду міг вважати, що відносно поведінки капралів весна 1812 не буде сильно відрізнятися від весни 1811 року. Так що рішення капрала і рішення Наполеона - речі незрівнянні. Чому ж настільки очевидні міркування не врахував письменник?

А очевидні ці міркування? І якщо очевидні, то для кого? Мабуть, подібні аналогії природні тільки для людини, знайомого з теорією вірогідності, який звик мати справу з явищами, результат яких залежить від безлічі випадковостей.

За часів Льва Толстого людина, який приїжджав залізницею до міста, брав візника. Міркування письменника могли привести до висновку, що кожен пасажир ризикує опинитися в незавидній ситуації, "якщо перший візник в цей день не приїде до вокзалу, і другий, і третій, і ...". Однак ні самого письменника, ні його попутників ця проблема не хвилювала. Досвід показував, що, як правило, на вокзалах візників було досить, і такі аналогії не приходили на розум письменнику.

Але що ж спільного між настільки несхожими явищами: капралом, який може піти, а може і не піти на вторинну службу; візником, який може поїхати і може не поїхати на вокзал, і, нарешті, атомом, який може розпастися, а може і не розпастися в даний момент? Те, що всі вони, по суті, підкоряються одному і тому ж закону великих чисел, хоча на перший погляд аналогію між ними помітити важко.

Ще недавно панувала ілюзія, що за допомогою математики ось-ось буде сказано нове слово в економічних, політичних та інших суспільних науках. Тепер, схоже, маятник хитнувся в інший бік, і все йде до того, що скоро можливості математики будуть принижував. Але за будь-яких оцінках безперечним залишається те, що математика дозволяє бачити загальне в абсолютно різних на перший погляд явища природи, суспільного та економічного життя.