- Правила гри
- Математичне формулювання
- Формулювання в загальному вигляді
- Напишіть відгук про статтю "Гра« Яструби і голуби »"
Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії
Гра «Яструби і голуби» ( англ. Hawks and Doves) - одна з найпростіших моделей теорії ігор, що описує конкурентні відносини в деякій популяції тварин і вироблення еволюційно стабільної стратегії.
Правила гри
Уявімо собі популяцію тварин, в якій окрема особа конкурують між собою за деякий ресурс. У найпростішому випадку це можуть бути шлюбні турніри самців за право злучитися з самкою. Оскільки в шлюбному турнірі беруть участь два самці, турнір можна уявити як гру двох учасників. Припустимо, що за темпераментом самці розпадаються на дві групи - умовно назвемо їх «Голуби» і «Яструби». Ці назви не мають відношення до конкретного виду тварини, а розуміються в переносному сенсі: яструби як символ агресивності, а голуби - як символ миролюбства. Насправді ці назви не мають нічого спільного з реальністю: в природі голуби (так само як і будь-які інші тварини) досить агресивні.
Особи кожної групи мають наступні особливості. Яструби завжди б'ються до перемоги і відступають тільки в тому випадку, якщо отримають серйозні каліцтва. Голуби обмежуються погрозами і демонстрацією агресивності, прагнучи психологічно подавити суперника, однак якщо справа доходить до справжньої сутички, вони відступають.
Таким чином, якщо голуб б'ється з яструбом, перемога дістається яструба, однак відступив голуб не отримує в сутичці ніяких пошкоджень і в принципі нічого не втрачає. Якщо б'ються два голуба, то перемога дістається одному з них (того, у кого міцніші нерви), каліцтв ніхто з них не отримує, проте обидва витрачають певну енергію на тривалий психологічне протистояння. Якщо б'ються два яструби, то перемагає один з них, а для іншого сутичка закінчується важкими каліцтвами.
Математичне формулювання
Щоб перевести гру на мову математики, оцінимо результати турніру у вигляді умовних одиниць (очок), отриманих або втрачених учасниками. Перемогу в турнірі (можливість залишити потомство) оцінимо в V = 50 очок, програш в L = 0 очок, отримання важкого каліцтва в W = -100 очок, а витрати енергії на тривале протистояння в E = -10 очок.
Тоді в сутичці двох голубів один з них отримує 50 очок виграшу і, крім того, обидва витрачають 10 очок в процесі тривалого протистояння. Вважаючи, що ймовірність перемоги для кожного однакова (тобто 0.5), отримаємо, що середній виграш голуба в сутичці з іншим голубом складе S (Г, Г) = 50 ∙ 0,5 - 10 = 15 очок.
У сутичці двох яструбів кожен з ймовірністю 0,5 отримує виграш в 50 очок і з такою ж вірогідністю - каліцтво, яке ми оцінили в -100 очок. Середній виграш складе S (Я, Я) = (50-100) ∙ 0,5 = -25 очок.
У сутичці голуба з яструбом голуб програє і отримує S (Г, Я) = 0 очок, яструб виграє і отримує S (Я, Г) = 50 очок.
Результати турніру можна наочно представити у вигляді так званої платіжної матриці:
Голуб Яструб Голуб 15 0 Яструб 50 -25
Позначимо частку яструбів в популяції через z, тоді частка голубів складе 1-z. Якщо в сутичці випадковим чином беруть участь два самці, то з ймовірністю z2 це два яструби, з ймовірністю (1-z) 2 - два голуби і з ймовірністю 2z (1-z) - голуб проти яструба.
Знайдемо середню кількість очок, яке отримують суперники в результаті сутички.
Яструб з ймовірністю z б'ється з іншим яструбом і отримує в середньому -25 очок і з імовірністю 1-z з голубом і отримує 50 очок. В середньому це складе
Sя (z) = -25 ∙ z + 50 ∙ (1-z) = -25z + 50 - 50z = 50 - 75z.
Аналогічно для голуба отримаємо
Sг (z) = 0 ∙ z + 15 ∙ (1-z) = 15 - 15z.
Побудуємо графіки цих рівнянь в осях координат S - z.
Як видно з графіка, лінії виграшу для голубів і яструбів перетинаються в деякій точці, яка визначається співвідношенням: 50 - 75z = 15 - 15z 60z = 35
z = 35/60 = 0,583 ...
Правіше цієї точки (тобто при збільшенні частки яструбів) перевагу мають голуби, тому їх відносна кількість буде збільшуватися, тим самим зменшуючи z. Лівіше цієї точки (при зменшенні кількості яструбів) яструби мають перевагу, тому їх кількість буде збільшуватися, тим самим збільшуючи z. Таким чином, будь-який зсув z від точки рівності виграшів голубів і яструбів викликає процеси, які прагнуть повернути популяцію в точку рівноваги. Стан популяції, відповідне точці рівноваги, називається еволюційно стабільної стратегії.
Формулювання в загальному вигляді
Позначимо виграш в разі перемоги в турнірі V, програш L, збиток від важкого каліцтва W, і витрати енергії на тривале протистояння E.
Тоді елементи платіжної матриці можна виразити наступними співвідношеннями:
<Math>
S (D, D) = \ frac {VL} {2} -E; </ Math>
<Math>
S (H, H) = \ frac {VW} {2}; </ Math>
<Math> S (D, H) = -L;
</ Math>
<Math> S (H, D) = V.
</ Math>
Платіжна матриця буде мати вигляд:
Голуб Яструб Голуб <math> \ frac {VL} {2} -E </ math> <math> -L </ math> Ястреб <math> V </ math> <math> \ frac {VW} {2} < / math>
Середній виграш яструбів при їх частці в популяції z складе
<Math>
S_H (z) = \ frac {(VW) z} {2} + V (1-z) = V- \ frac {(V + W) z} {2}; </ Math>
а середній виграш голубів
<Math>
S_D (z) = -Lz + \ left (\ frac {VL} {2} -E \ right) (1-z) = \ frac {VL} {2} - E - \ left (\ frac {V + L } {2} -E \ right) z; </ Math>
Точка рівноваги популяції буде досягнута при наступній частці яструбів:
<Math>
V- \ frac {(V + W) z} {2} = \ frac {VL} {2} - E - \ left (\ frac {V + L} {2} -E \ right) z; </ Math>
<Math>
\ Left (\ frac {WL} {2} + E \ right) z = \ frac {V + L} {2} + E; </ Math>
<Math>
z = \ frac {V + L + 2E} {W-L + 2E}. </ Math>
К: Вікіпедія: Статті без джерел (тип: не вказано)
Напишіть відгук про статтю "Гра« Яструби і голуби »"
Уривок, що характеризує Гра «Яструби і голуби»
«Самі себе богу зрадимо, - повторила в своїй душі Наташа. - Боже мій, передаю себе твоєї волі, - думала вона. - Нічого не хочу, не бажаю; навчи мене, що мені робити, куди використати свою волю! Так візьми ж мене, візьми мене! - з розчуленим нетерпінням в душі говорила Наташа, що не хрестячись, опустивши свої тонкі руки і ніби чекаючи, що ось ось невидима сила візьме її і позбавить від себе, від своїх жалю, бажань, докорів, надій і пороків.
Графиня кілька разів під час служби оглядалася на розчулене, з блискучими очима, обличчя своєї дочки і молилася Богу про те, щоб він допоміг їй.
Несподівано, в середині і не в порядку служби, який Наташа добре знала, дяк виніс лавочку, ту саму, на якій читалися уклінні молитви в Тройця, і поставив її перед царськими дверима. Священик вийшов в своїй лілового оксамитової скуфії, поправив волосся і з зусиллям став на коліна. Все зробили те ж і з подивом дивилися один на одного. Це була молитва, тільки що отримана з Синоду, молитва про порятунок Росії від ворожої навали.
- «Господи боже сил, боже спасіння нашого, - почав священик тим ясним, ненапищенним і лагідним голосом, яким читають тільки одні духовні слов'янські читці і який так чарівно діє на російське серце. - Господи боже сил, боже спасіння нашого! Призри нині в милості і щедроти на смиренні люди твоя, і чоловіколюбно почуй, і пощади, і помилуй нас. Се ворог смущаяй землю твою і що бажає положити всесвіт всю пусту, віднов на ни; се людие беззаконні собрашася, еже погубити надбання твоє, разоріті чесний Єрусалим твій, кохану тобі Росію: оскверніті храми твої, раскопаті вівтарі і поругатіся святині нашої. Доки, господи, доки грішниці вихваляючи? Доки употребляти имать законопреступний влада?
Владико Господи! Почуй нас, моляться тобі: зміцни силою твоєю благочестивішого, самодержавної великого государя нашого імператора Олександра Павловича; згадай правду його і лагідність, Верни йому з ласки його, нею ж зберігає ни, твій коханий Ізраїль. Благослови його поради, починання і справи; утверди всемогущною твоєю десницею царство його і подай йому перемогу на ворога, яко же Мойсеєві на Амалика, Гедеону на Мадіама і Давиду на Голіафа. Збережи воїнство його; поклади лук медян м'язам, в ім'я твоє наїжачилися, і підпережеш їх силою на лайку. Прийми зброю і щит, і повстання на допомогу нашу, нехай осоромляться і застидаються мислячий нам зла, та стануть перед обличчям вірного ти воїнства, яко полова на вітрі, і ангел твій сильний нехай буде оскорбляяй і погоняяй їх; нехай прийде їм мережу, юже НЕ Сведала, і їх Ловитва, юже сокриша, так обійме їх; да впадуть під ногами рабів твоїх і в попрання виттям нашим нехай будуть. Господи! НЕ знеможе у тебе спасати у багатьох і в малих; ти єси Бог, та не має сили проти супроти тебе людина.
Боже отців наших! Пом'яни щедроти твоя і милості, яже одвіку суть: чи не отвержи нас перед лицем твоїм, нижче погребували негідність нашим, але помилуй нас із великої милості Твоєї і з великого милосердя твоїх презри беззаконня і гріхи наші. Серце чисте утвори в нас, і духа правого обнови в утробі нашої; всіх нас зміцни вірою в тебе, утверди надією, одушевити правдивою один до одного любов'ю, озброй одностайністю на праведне перед тими здобуття, еже дав єси нам і отцем нашим, та не вознесеться жезл безбожних на жереб освячених.
Господи боже наш, в нього ж віруємо і на нього ж сподіваємося, що не посоромив нас від сподівання милості твоєї і сотвори знака на добре, бо так бачать ненавидить нас і православну віру нашу, і з соромом своїм загинуть; і так поведені всі країни, яко ім'я тобі господь, і ми людие твої. Яви нам, Господи, нині милість твою і спасіння твоє дай нам; звесели серце рабів твоїх про милости; вибий вороги наші, і зламай їх під ноги вірних твоїх незабаром. Бо Ти заступництво, допомогу і перемога надію на тя, і тобі славу возсилаємо, батькові і синові і святому духу і нині, і повсякчас, і на віки віків. Амінь ».
У тому стані розкритості душевної, в якому перебувала Наташа, ця молитва сильно подіяла на неї. Вона слухала кожне слово про перемогу Мойсея на Амалика, і Гедеона на Мадіама, і Давида на Голіафа, і про руйнування Єрусалима твого і просила бога з тією ніжністю і розм'якшення, якою було переповнене її серце; але не розуміла гарненько, про що вона просила бога в цій молитві. Вона всією душею брала участь в проханні про дух правом, про зміцнення серця вірою, надією і про наснагу їх любов'ю. Але вона не могла молитися про нехтуванні під ноги ворогів своїх, коли вона за кілька хвилин перед цим тільки бажала мати їх більше, щоб любити їх, молитися за них. Але вона теж не могла сумніватися в правоті читається коліно похилої молитви. Вона відчувала в душі своїй побожний і трепетний страх перед покаранням, яке спіткало людей за їхні гріхи, і особливо за свої гріхи, і просила бога про те, щоб він простив їх всіх і її і дав би їм усім і їй спокою і щастя в житті . І їй здавалося, що бог чує її молитву.
Доки употребляти имать законопреступний влада?
