/ Неевклідові геометрії / Неевклидова геометрія Рімана / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Сферична геометрія і неевклідова геометрія Рімана. Величезне враження, вироблене на уми математиків відкриттям Лобачевського, Бойяи і Гаусса, можливо, було б дещо менш сильним, якби люди помітили, що ще задовго до Лобачевського вони фактично вже володіли змістовною геометричній схемою, відмінною від традиційної геометрії Евкліда, т. Е . вже знали одну з неевклідових геометрій. Однак тверде переконання всіх вчених в універсальності системи Евкліда позбавила змоги їм оцінити по достоїнству той запас знань, яким вони мали. Саме тому першим прикладом геометричній системи, відмінної від класичної геометрії Евкліда, вважається зазвичай неевклидова геометрія Лобачевського. Значно ж більш проста схема, по суті розроблена з великими деталями за багато століть до Лобачевського, зв'язується зазвичай з ім'ям геніального німецького математика Бернхарда Рімана, вперше звернув увагу на спорідненість цієї схеми з класичною геометрією Евкліда і неевклідової геометрією Лобачевського. Ми, однак, тут не будемо слідувати історії питання і викладемо більш просту схему Рімана до геометрії Лобачевського.
Коли говоримо, що неевклидова геометрія Рімана була відома задовго до відкриття Лобачевського, маємо на увазі тісний зв'язок її зі сферичною геометрією (геометрією на площині сфери). Основні факти сферичної геометрії були ґрунтовно досліджені ще в давнину в зв'язку з завданнями астрономії. Оскільки поверхню землі наближено має форму сфери, можна стверджувати, що "земна геометрія" також є геометрією сферичної (це реально відчувається при вимірах, які зачіпають значні ділянки земної поверхні).
Роль прямих ліній на сфері, т. Е. Найкоротших ліній, що з'єднують дві точки сфери, грають так звані великі кола - перетину сфери площинами, що проходять через її центр (див. Рис. 1). Кути між великими колами, як і кути між будь-якими іншими лініями на сфері, приймаються рівними кутах між дотичними до цих ліній в точках перетину. Роль трикутників і багатокутників в сферичної геометрії грають сферичні трикутники і багатокутники, утворені дугами великих кіл (див. Рис. 2).
Під відстанню між двома точками на сфері розуміється довжина меншою з двох дуг великого кола, що з'єднує ці точки. Це визначення слід видозмінити лише для випадку діаметрально протилежних точок A і A 1 сфери; для них існує нескінченно багато що з'єднують їх дуг великих кіл, і всі вони мають одну і ту ж довжину πr (де r - радіус сфери), яку і приймаємо за відстань між A і A 1.
- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 -
