Sceptic-Ratio. Геометрія і досвід: Гаусс, Ріман, Клейн, Пуанкаре

σ = 86 ° 13 '58,366 "+ 53 ° 6' 45,642" + 40 ° 39 '30,165 "= 180 ° 00' 14,173".

В межах точності приладу, яким проводилося вимірювання, можна було зробити висновок, що простір евклидово. У своїх теоретичних пошуках для характеристики кривизни простору Гаусс увів особливу абстрактну координатну систему, яка, зрозуміло, як і всякий базис за своєю природою була математичним метапространотвом для опису кривизни поверхні. Релятивісти вперто не хочуть визнати за базисом повноцінну математичну сутність тотожну за значимістю з самим метричним тензором. З епістемологічної і психологічної точок зору гауссова координатна система є метапространство суб'єкта теорії, без якого викривлена форма не може бути представлена.

В цьому напрямку тривалий час Гаусс працював один, продовжуючи розпочату задовго до нього критичну лінію щодо перегляду евклідової геометрії. Але ось в 1830-і роки з'явилися дві важливі роботи, які він з ентузіазмом підтримав. Це були робота російського математика, ректора Казанського університету (в період 1827 - 1847 рр.) Миколи Івановича Лобачевського (1792 - 1856) і робота угорця Яноша бойан (1802 - 1860) - офіцера австро-угорської армії, сина відомого математика Фаркаша бойан, який був близьким другом Гаусса. Відомо, що 16 грудня 1799 р Гаусс написав Фаркашу бойан лист, в якому є такі рядки: «Я особисто далеко просунувся в моїх роботах (хоча інші, абсолютно не пов'язані з цим заняття залишають мені для цього мало часу). Однак дорога, яку я вибрав, веде скоріше не до бажаної мети, а до того, щоб зробити сумнівною істинність геометрії. Правда, я досяг багато чого, що для більшості могло б зійти за доказ, але це не доводить в моїх очах рівно нічого »[55, с. 172].

При публікації математичних праць батька (вони з'явилися на світ 1832 - 1833 рр.), Боян-молодший в якості доповнення опублікував на 26 сторінках власний трактат, написаний приблизно в 1825 році. Він вийшов під назвою «Додаток, що містить науку про простір, абсолютно справжню, не залежну від істинності чи хибності XI аксіоми Евкліда [вона еквівалентна V постулату], що a priori ніколи вирішено бути не може». У 1825 році, тобто приблизно в один час з Боян, але незалежно від нього, Лобачевський розпочав розробку схожої з бойан неевклідової геометрії, яку він виклав у ряді робіт.

Твір Лобачевського «Про початки геометрії» (1829) закінчується Висновком, де є такі слова: «Залишилося досліджувати, якого роду зміна станеться від введення уявної геометрії [так він називав новою геометрію] в механіку, і не зустрінеться тут прийнятих вже безсумнівних понять про природу речей, але які примусять нас обмежувати або зовсім не допускати залежності ліній і кутів. Однак ж можна уявити, що зміни в механіці при нових засадах геометрії будуть того ж роду, які показав Лаплас, припускаючи можливу всяку залежність швидкості від сили, або - виразимося вірніше - припускаючи сили, вимірювані завжди швидкістю, підлеглими іншим законом в з'єднанні, ніж прийнятому додаванню їх »[47, с. 16]. Як бачимо, вже Лобачевський думав про інше законі складання швидкостей, ніж це прийнято в класичній механіці. Але хіба можна було тоді передбачити, що запропоноване ним математичне вчення обернеться повним розвалом фізичних наук.

У 1827 р Гаусс виклав свою теорію поверхонь в роботі під назвою «Загальні дослідження щодо кривих поверхонь», що поклала основою до розробки диференціальної геометрії, яка потім стала основним математичним апаратом, використовуваним в загальній теорії відносності. Розробку диференціальної геометрії здійснив учень Гаусса Бернхард Ріман (1826 - 1866). На початку своєї знаменитої лекції 1854 року «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії» Ріман сказав, що «пропозиції геометрії не виводяться з загальних властивостей протяжних величин і що, навпаки, ті властивості, які виділяють простір з інших мислимих тричі протяжних величин, можуть бути почерпнуті не інакше, як з досвіду.

В такому випадку виникає задача встановити, з яких найпростіших припущень випливають метричні властивості простору, - завдання, природно, не цілком певна, так як не виключено, що можливо кілька систем простих припущень, з яких кожна достатня для встановлення метричних властивостей простору; найважливіша серед них, з точки зору поставленої нами мети, є система, покладена в основу геометрії Евкліда. Допущення, про які йде мова, не є (як і всякі припущення) необхідними; достовірність їх носить емпіричний характер; вони - не що інше, як гіпотези. Їх правдоподібність (яке, як би там не було, дуже значно в межах спостереження) слід піддати дослідженню і потім судити про те, чи можуть вони бути поширені за межі спостереження як в сторону великого, так і в бік незмірно малого »[47, с . 18 - 19].

Ріман стверджував також, що хоча «необмеженість простору властива набагато більша емпірична достовірність» [47, с. 31], проте в майбутньому той же самий досвід може надати нам факти, що свідчать про кривизну реального простору. «Емпіричні поняття, на яких грунтується встановлення просторових метричних відносин, - поняття твердого тіла і світлового променя, - мабуть, втрачають будь-яку визначеність в нескінченно малому [47, с. 32]. Звідси Ріман вказав шлях, пройдений потім Ейнштейном, а саме: «... Потрібно спробувати пояснити виникнення метричних відносин чимось зовнішнім - силами зв'язку, що діють на це реальне». Він сподівався фізику Ньютона «удосконалювати, керуючись фактами, які не можуть бути нею пояснені» [47, с. 33].

У невеликому нарисі 1926 р «Неевклидова геометрія і фізика» Ейнштейн високо оцінив заслуги Рімана перед релятивістської фізикою, який висловив «сміливу думку про те, що геометричні відносини тел можуть бути обумовлені фізичними причинами, тобто силами. Таким чином, шляхом чисто математичних міркуванні він прийшов до думки про невіддільності геометрії від фізики. Ця думка знайшла своє фактичне здійснення через сімдесят років в загальній теорії відносності, яка поєднала в одне ціле геометрію і теорію тяжіння »[1, т. 2, с. 181 - 182]. Ми підкреслили слова про «чисто математичному» шляху міркування. Ці слова в статті Ейнштейна повисають у повітрі; не знаходять вони конкретного підтвердження і в роботах Рімана. Очевидно, «шляхом чисто математичних міркувань» не можна прийти до думки «про невіддільності геометрії від фізики».

Деякі історики сучасної фізики не схильні віддавати пальму першості Лобачевському, Гауса або їх попередникам. Математична складова релятивізму бере свій початок від так званої «Ерлангенском програми», проголошеної в 1872 році Феліксом Клейном (1849 - 1925). При вступі на посаду професора математики в Ерлангені він прочитав доповідь, в якій стверджував, що будь-яка геометрія є по суті теорією інваріантів певної групи просторових перетворень. Інваріанти метричної групи перетворень дають евклидову геометрію, а інваріанти проективної групи - проективну геометрію. Геометрії Лобачевського (1792 - 1856) і Рімана (1826 - 1866) мали свої інваріанти, виражені відповідними аналітичними виразами. Батьки теорії відносності розробляли її з оглядкою на теорію інваріантів і груп Клейна.

За статтею Пуанкаре 1905 «Про динаміку електрона» це особливо відчувається. Звідси зрозумілий той оптимізм, з яким була зустрінута теорія відносності професійними математиками. Вони й чути не хотіли про заперечення, які виставляли конструктивісти-фізики; всі матеріальні обмеження здавалися їм малозначними перешкодами, які не йшли в порівняння з їх всеохоплюючими концептуальними установками. Так як будь-який фізик завжди відчуває деяку боязкість перед віртуозним математиком, він здебільшого мовчав, коли той підсовував йому пачку сторінок, суцільно списану абстрактними формулами. В результаті була побудована повітряний замок, який не має нічого спільного з реальною дійсністю. Помилуйтеся на перетворення Лоренца, які за вуха притягли до принципу відносності. Адже вони прийшли на зміну перетворенням Галілея, так як залишали хвильове рівняння в незмінному вигляді (критика цього положення міститься в багатьох розділах сайту Sceptic-Ratio).

Слід, однак, зауважити, що сам Клейн був математиком вельми навіть конструктивного спрямування; він жваво цікавився проблемами фізики і його основним опонентом в науці був схильний до спекулятивних міркувань Анрі Пуанкаре. Але, на жаль, його підхід до фізики з позиції теорії алгебри груп завдав непоправної шкоди. Всі побачили в групових властивостях перетворень Лоренца щось фундаментальне, що претендує на рафіновану істину, яка одним махом перевела стрілки теорії відносності з фізики на чисту геометрію. Така сумна роль математиків в справі становлення теорії відносності і, зокрема, Клейна. Зараз ми побачимо, як він втягувався в релятивістську геометрію.

У 1869 р Клейн познайомився з теорією Келі, а трохи пізніше з геометриями Лобачевського і Бойяи. «... Я з повною виразністю зрозумів, - пише Клейн, - що неевклидова геометрії є частинами проективної геометрії в сенсі Келі, і незважаючи на запеклий опір з його боку мені вдалося нав'язати цю думку і моєму другові» [45, т. 1, с. 173]. Під одним тут мається на увазі Штольц, який і познайомив Клейна з неевклідової геометрією Лобачевського і Бойяи. Слід також нагадати, що проектну геометрію розробляв Плюккер, зокрема, йому належить дотепне і дуже наочний доказ відомої теореми Паскаля.

У 1871 р Клейну вдалося оприлюднити свої погляди, з якими багато шановних математики не погоджувалися. «Не хто інший, як сам Лотц, - йдеться в" Лекціях ", - саме тоді висунув гасло, що все неевклидова геометрії є нісенітницю. До цього додалося і ще одне, до сих нір не викорінення і існуюче у філософів і пишуть на науково-популярні теми непорозуміння, яке я не хотів би залишити тут без обговорення. Воно стосується вираження "кривизна", яке, на своє нещастя, має дуже наочний сенс. Це введене Гауссом і широко використовувалося Ріманом чисто математичне поняття являє собою якийсь розглянутий в диференціальної геометрії інваріант

,

який походить від Гауса вираження для елемента дуги

ds² = Edp² + 2Fdpdq + Gdq²,

причому має місце теорема, що це K в неевклідових просторах постійно.

Цьому математичного твердженням, що носить чисто іманентна характер, філософи і всілякого роду містики абсолютно неприпустимим чином надали якесь трансцендентне значення, як якщо б воно говорило про якомусь наочно сприймається властивості простору. У зв'язку з цим було чимало розмов і суперечок про четвертому вимірі, так як вважалося, що простір неодмінно має володіти ще одним - новим - виміром, щоб мати можливість бути "викривленим". (Навіть Геттінгенського математичного товариства протягом багатьох років брали участь в такого роду дискусіях ...).

Всі ці збочення, які часом грали нам на руку, а інший раз оберталися і проти нас, доставили нам великі труднощі. Пригадую нескінченні розмови, які я взимку 1871/72 р щовечора вів зі своїми друзями в погребі Гебхарда і вони найчастіше сприймали вельми спекотний характер. Але ще більш істотним було опір, яке я відчував з боку математиків. ... Але навіть це детальний виклад предмета не внесло в це питання повної ясності. Зокрема, Келі назавжди залишився при помилковому переконанні, що в моїх міркуваннях криється порочне коло (див., Наприклад, Додавання Келі до другого тому його "Трудов" (1889), де він посилається, крім того, і на Роберта Болла, з яким я теж підтримував жваве, але в даному пункті абсолютно безуспішне спілкування).

Таким чином, ми тут знову стикаємося з тим своєрідним фактом, що постарілий розум буває вже не в змозі робити висновки з положень, висунутих ним же самим. Наслідки психологічно неминучого процесу, в результаті якого мозок з часом втрачає свою рухливість і пластичність, можна спостерігати досить часто. Так, наприклад, Лоренц, завдяки ідеям якого тільки і зміг виникнути принцип відносності, завжди цим принципом противився. ...

Я міг би розповісти і про багатьох інших деталях цього складного процесу, який часто бував обтяжений різного роду труднощами, проте я обмежуся тим, що вже було сказано. Ці битви відображені у відповідних томах Math. Annalen (особливо в 37-му томі). І лише одне ім'я мені хотілося б ще згадати тут - ім'я Кліффорда. Я згадую про нього з особливою радістю як про людину, який відразу зрозумів, а незабаром і перевершив мене »[45, т. 1, с. 173 - 176].

Зазначена тут проблема дійсно дуже важлива і одночасно важка для розуміння. Справа зовсім не в тому, що Келі був старий і не здатний сприймати ідеї Клейна, а Кліффорд був молодший і легко розумів його. Перед нами відома ситуація змішання об'єктного і суб'єктного спостерігача, що виявляється в області логіки через парадокс обманщика, а в області психології - через парадокс сходів Шредера, розглянуті раніше. Люди коливаються і не можуть однозначно відповісти на питання: чи потрібно для сприйняття викривленого простору додатково не викривлений простір? Той, хто відповідає «так, потрібно», виявляється в положенні метанаблюдателя, який співчутливо поставився до об'єктного спостерігачеві, для якого він не бачить ніякого виходу за межі його викривленого простору. Той, хто відповідає «ні, не потрібно», ототожнює об'єктного спостерігача з самим собою як суб'єктом теорії. Якщо відсутня евклидово простір суб'єкта, де є метричні еталони довжини і звідки ведеться спостереження за викривленими формами, то відсутній і способи виявлення і вимірювання викривлених форм.

Зараз корисно повернутися до докантовскую часів і згадати один відомий історикам науки суперечка між Лейбніцем і Кларком. У листі до ремон від 27 березня 1716 Лейбніц писав: «Г-н Кларк, капелан короля Великобританії і один з тих, хто оточує пана Ньютона, вступив зі мною в суперечку, захищаючи свого вчителя; пані принцеса Уельська висловила бажання познайомитися з істотою нашого спору. Днями я послав їй докази того, що простір, яке для багатьох - idolum tribus [ідол роду - оману, властиве всьому людському роду], як висловився Бекон Веруламский, насправді не є ні субстанцією, ні абсолютним буттям, а являє собою, як і час, якусь впорядкованість. Ось чому мали рацію древні, коли вони називали простір поза світом, тобто простір без тіл, уявним »[69, с. 564].

Це уявлення про простір особливо зміцнилося в зв'язку з введеною Декартом впорядкованої системи координат. Говорячи про простір «поза світом», «без тіл», Лейбніц має на увазі простір чисто математичне або геометричне, але ніяк не фізичне. Його можна також назвати «уявним», тобто психологічним, в цьому випадку воно втрачає міру, залишаючись тільки топологічно суб'єктивним. Такий простір не може бути викривленим, оскільки воно всередині нашої свідомості. Але як тільки ми переходимо до реальності, ми тут же стикаємося з фізичними об'єктами, які, зрозуміло, можуть бути викривлені під дією тих чи інших напруг.

У третьому листі Лейбніца, направленому принцесі Уельської від 25 лютого 1716 роки для ознайомлення і передачі листа Кларку, йдеться про порожньому просторі як про якийсь «реальному абсолютному істоті», яким є «самим Бога» або «його атрибутом». Таку позицію, як відомо, відстоював «пізній» Ньютон, який сам особисто не наважився вступати в суперечку з Лейбніцем; це важкий тягар звалив на себе королівський капелан, пан Кларк.

У зазначеному листі Лейбніц писав: «2. Погоджуються зі мною щодо важливого принципу, згідно з яким ніщо не відбувається без достатніх підстав до того, що воно відбувається швидше так, ніж інакше. Але погоджуються зі мною на словах, а на ділі відмовляються визнавати його. З цього випливає, що не дуже розуміють всю його силу. І тому посилаються на приклад, який зустрічається як раз в одному з моїх доказів проти реального абсолютного простору, цього ідола деяких сучасних англійців. Я говорю тут про ідола не в богословському, а в філософському сенсі, як колись канцлер Бекон говорив про idola tribus, idola specus.

3. ЦІ панове, таким чином, стверджують, что простір - реальне абсолютне істота, но це виробляти їх до великих труднощів. Бо, здається, что ця істота винна буті вічнім и нескінченнім. Тому деякі вважають, что воно є самим Богом або, прінаймні, его атрибутом, его незмірно. Але так як простір має частині, то воно є несумісним з поняттям Бога.

4. Я неодноразово підкреслював, що вважаю простір, так само як і час, чимось чисто відносним: простір - порядком співіснування, а час - порядком послідовностей. Бо простір з точки зору можливості позначає порядок одночасних речей, оскільки вони існують спільно, не торкаючись їх специфічного способу буття. Коли бачать кілька речей разом, то усвідомлюють порядок, в якому речі знаходяться по відношенню один до одного.

5. Для спростування думки тих, які вважають простір субстанцією або, принаймні, якийсь абсолютної сутністю, у мене є кілька доказів »[69, с. 441]. Далі Лейбніц наводить кілька умоглядне доказ в дусі своєї філософії достатніх підстав.

Проблеми фізики почалися тоді, коли релятивісти ввели порожній простір в якості реального атрибута буття або, у випадку з віруючими, Ньютоном і Лейбніцем, атрибутами Бога. Порожнеча є тільки можливість для існування чого б то не було; порожнеча завжди буде «уявної» - такий ще термін використав Лейбніц. «Хто висловлюється за порожнечу, - пише він, - той керується при цьому більше уявою, ніж розумом. У молодості я теж захоплювався вченням про порожнечу і атомах, але достатні підстави переконали мене. То був привабливий фантастичний образ; проте він обмежує, в деякій мірі затримує дослідження, змушує вважати, що знайдені первісні елементи ... Все ж Богу приписують вельми недосконале творіння, припускаючи пусте в природі; цим порушують великий принцип необхідності достатньої підстави, про який багато говорили, не розуміючи його сили »[69, с. 456].

Картезіанці і Лейбніц, в тому числі, зазнали поразки в науці від ньютонианцев тому, що не змогли запропонувати модель середовища, де б могли отримати пояснення явища поширення світла і дію сили тяжіння. Тому в науку природним чином проникла формально-феноменологічна фізика Ньютона. Однак світогляд Декарта і Лейбніца здобуло перемогу за часів Фарадея і Максвелла, коли були закладені основи електротехніки і електродинаміки. Матеріальні докази картезианцев безперечні, спекуляції ньютонианцев нагадують спекуляції релятивістів і вони, з точки зору творчої науки, абсолютно безплідні. Бог Ньютона у вигляді порожнього простору, яке волею Бога повідомило первотолчок небесних тіл, - це вже не фізика, а середньовічний сурогат, якому аплодували дрімучі схоласти з богословського Трініті-коледжу.

Лейбніц допускав серйозні помилки в побудові своїх фізичних моделей, але він займався все ж справжньою наукою і домігся чималих результатів. У стратегічному плані його конструктивний підхід, безумовно, є правильним. Слід, однак, знати, що молодий Ньютон теж дотримувався картезіанських поглядів на простір, коли мислив виразними категоріями світової середовища. Про «порожньому просторі», як про якийсь «чувствилища Бога», він заговорив уже на схилі свого творчої діяльності, яка сталася десь після написання ним «Математичних начал».

Спробу досвідченого випробування реальної геометрії ставлять під сумнів Пуанкаре і все противники релятивістської доктрини. У п'ятому розділі, яка названа «Досвід і геометрія» своєї чудової книги «Наука і гіпотеза» він зачіпає, можливо, найголовніший для нас питання, який виник задовго до появи двох теорій відносності Ейнштейна. Тут французький мислитель підвів підсумок тривала майже весь XIX в. дискусії математиків, філософів і натуралістів про емпіричної перевірки геометрії. Пуанкаре рішуче спростовує «помилкову ідею, глибоко вкорінену в багатьох умах», ніби справедливість постулату Евкліда про паралельність прямих можна визначити за допомогою оптичного інструменту.

Викладеної позиції про емпіричному походження геометрії суперечить авторитетної думки Анрі Пуанкаре, який у своїй знаменитій книзі «Наука і гіпотеза» [36] нагадує, що, фактично, «прямою лінією» називають «траєкторію світлового променя», тому у нас немає коштів виявити порушення Евклідовому реального простору або, як він каже, «евклідової геометрії нічого боятися нових дослідів».

«Чи можна стверджувати, - задається Пуанкаре питанням, - щоб деякі явища, можливі в евклідовому просторі, були неможливі в неевклідовий, так що досвід, констатуючи ці явища, прямо суперечив би гіпотезі про неевклідовий просторі? На мою думку, подібне питання не може виникнути. З моєї точки зору, він цілком рівносильний наступного питання, безглуздість якого всякому кинеться в очі: чи існують довжини, які можна виразити в метрах і сантиметрах, але яких не можна виміряти туазов, футами і дюймами, - так що досвід, констатуючи існування цих довжин, прямо суперечив би тому допущенню, що існують туазов, діляться на 6 футів »[36, с. 54].

В іншому місці Пуанкаре до цього порівняння додає і інші: «Якщо тепер ми звернемося до питання, чи є евклідова геометрія істиною, то знайдемо, що він не має сенсу. Це було б все одно, що питати, яка система справжня - метрична або ж система зі старовинними заходами, або які координати вірніше - декартові або ж полярні. Ніяка геометрія не може бути більше істинна, ніж інша; та чи інша геометрія може бути тільки більш зручною »[36, с. 41].

На доказ своєї думки Пуанкаре призводить прості і зрозумілі аргументи: якщо реальний простір дійсно якось викривлено, то вигнутими виявляться і оптичні шляху проходження променів світла, і матеріальні лінійки, і взагалі все вимірювальні прилади. «Нехай ми виготовили матеріальний коло, - припустив він, - виміряли його діаметр і окружність і бажаємо переконатися, чи рівне ставлення цих величин числа π. Що ми робимо в цьому випадку? Ми виробляємо досвід не над властивостями простору, а над властивостями як того матеріалу, з якого виготовлений цей диск, так і того, з якого зроблений метр, службовець для виміру »[36, с. 54]. Пуанкаре схильний вважати, що двовимірні розумні істоти не змогли б скласти собі уявлення про реальну геометричній формі свого простору, так як «евклидова або неевклидова геометрія ніколи не може виявитися в прямому протиріччі з досвідом» [36, с. 55].

Справді, якщо ми говоримо, що дана область простору є неевклідової, то, щоб ми могли його з чимось порівнювати, в цій галузі має перебувати щось евклидово, інакше неможливо встановити істину. Представте собі здути еластичну камеру, що лежить на рівній евклідової площині: Вичертите на поверхні цієї камери трикутник і коло, далі накачайте цю камеру, щоб вона прийняла сферичну форму, і тоді ви побачите, як спотворили все розміри накреслених вами фігур. Тепер уже відношення довжини кола до довжини її діаметру не дорівнюватиме числу π і сума кутів трикутника також виявиться не дорівнює цьому числу (нагадаємо, що кутові параметри завжди можна виразити через довжини дуг). Але це бачите ви, метанаблюдатель, який знаходиться в евклідовому просторі, для гіпотетичних двовимірних істот, що мешкають на поверхні камери, все відносини залишаться колишніми, так як їх оптичні прилади і все вимірювальні інструменти зазнають разом з ними зміни.

Слідом за Пуанкаре і Ейнштейн намагався знайти спосіб визначення дослідним шляхом характеру кривизни простору. Було б дуже дивно, якби він не спробував це зробити, адже в іншому випадку вся його теорія відносності повинна була припинити своє славне існування. У 1921 році він прочитав доповідь на тему «Геометрія і досвід», де навів міркування, які ніяк не можна назвати переконливими. Він вдався до образу, яким користувався і Пуанкаре: «Тепер наведемо приклад двовимірного континууму, який кінцевий, але безмежний. Уявімо собі поверхню великого глобуса і безліч однакових гладких круглих паперових дисків »- так починається його доказ можливості емпіричної перевірки кривизни.

Далі Ейнштейн продовжує: «... Сферична поверхня є неевклідової континуумом двох вимірів; інакше кажучи, закони розташування жорстких фігур на цій поверхні не узгоджуються з тими ж законами евклідовой площині. Це можна показати наступним чином. Візьмемо один з дисків і розташуємо навколо нього ще шість інших дисків, навколо кожного з яких в свою чергу розташуємо ще шість і т.д. Якщо це побудова робиться на площині, то ми отримаємо неперервні розташування, при якому кожен з дисків, які не лежить на краю побудови, стикається з шістьма іншими.

На сферичної поверхні така побудова здається спочатку успішним, в тим більшою мірою, чим менше радіус дисків в порівнянні з радіусом сфери. Але в міру продовження подібного побудови, стає все більш очевидним, що неможливо розташувати диски зазначеним вище чином, без перерв, як це було можливо в разі евклідовой геометрії на площині. Істоти, які не можуть не тільки залишити сферичну поверхню, але навіть і "виглянути" з сферичної поверхні в тривимірний простір, могли б встановити шляхом досвіду з дисками, що їх двовимірне "простір» не евклідів, а сферичне »[1, т. 2 , с. 91.].

Помилку, якої припустився тут Ейнштейн, занадто груба, щоб її не міг не помітити Пуанкаре. Говорячи про «однакових гладких круглих паперових дисках», Ейнштейн мав на увазі диски, взяті з евклідового простору, для яких відношення довжини кола до довжини діаметра дорівнює числу π. Ці ідеально плоскі диски він потім подумки розмістив в неевклідовий просторі, де відношення довжини кола до довжини діаметра вже не дорівнює величині π. Але його двовимірні істоти не могли «встановити шляхом досвіду з дисками, що їх двовимірне" простір »не евклідів, а сферичне», так як у них просто не було б в руках цих самих евклідових дисків. Так або приблизно так міг би заперечити Пуанкаре Ейнштейну. Інших доказів експериментальної перевірки кривизни простору в доповіді «Геометрія і досвід» немає.

Коли релятивісти, кажучи про емпіричної перевірки загальної теорії відносності, наводять факт відхилення променя світла поблизу Сонця на 1,75 кутових секунди, вони насправді вказують саме на викривлення променя світла, а не простору, в якому промінь світла поширюється. Точно так же «розбігання» зірок і галактик від нашої Землі в різні боки Всесвіту ніяк чи не свідчить про нібито безперервно розширюється просторі. Якби простір дійсно розширювалося, то ніякого червоного зсуву в спектрах, що виникло через доплер-ефекту, не існувало б. Ці та подібні цим помилки виникли через нездатність релятивістів розрізняти введені ще Декартом поняття суб'єктивного простору математики та об'єктивної протяжності матеріальних тел. Здавалося б, в обох випадках ми маємо справу з гранично абстрактними сутностями, однак розглянуті помилки вказують на прірву, яка розділяє математику і фізику.

Авангард фізичної науки не зрозуміли доводів Анрі Пуанкаре. Він кинувся за Ернстом Махом, який в 1903 році нагадав про віру деяких видних математиків в емпіричну природу геометрії. «Потреба в глибокому гносеологічному з'ясуванні основ геометрії, - писав він, - змусила Рімана в середині минулого століття поставити питання про природу простору. Ще до цього Гаусс, Лобачевський і обидва Бояи звернули увагу на емпірично-гіпотетичне значення відомих основних припущень геометрії. Коли Ріман розглядає простір як окремий випадок багаторазово протяжної "величини", він мислить деякий геометричний образ, який можна уявляти собі наповнює і весь простір, наприклад координатну систему Декарта. Далі, Ріман каже, що положення геометрії не можна вивести із загальних понять про величини, але ті властивості, якими простір відрізняється від інших мислимих величин трьох вимірів, можуть бути запозичені тільки з досвіду: "Подібно до всіх фактах і ці факти не потрібні, а тільки емпірично достовірні; вони - гіпотези ". Як основні допущення у всякій галузі природознавства, так і основні допущення геометрії, до яких призвів досвід, є ідеалізації цього досвіду. У своєму природничо розумінні геометрії Ріман стоїть на точці зору свого вчителя Гаусса. Гаусс висловив переконання, "що ми не можемо обґрунтувати геометрію цілком a priori ..." [лист Гаусса Бесселя від 27 січня 1829 р]. "Ми повинні смиренно визнати, що, хоча число є тільки продукт нашого розуму, простір є реальність і поза нашого розуму, якої ми не можемо повністю приписувати закону a priori" [лист Гаусса Бесселя від 9 квітня 1830 р] »[47, с . 73].

Однодумець Маха, Оствальд, писав про тісний зв'язок між геометрією і фізикою так: «Хибна думка, ніби за допомогою однієї логіки можна створити науку, пояснюється тим, що перш абсолютно не розуміли досвідченого характеру цього матеріалу. В даний час, завдяки переконливим дослідженням Рімана і Гельмгольца, багато хто готовий приписати геометрії емпіричний характер. Але їм здається сумнівним, щоб те ж саме можна було стверджувати про математику. Швидше, навпаки, навіть відмовляючись від "абсолютних істин" математики, вони готові бачити в ній вільне і довільне творчість людського духу. Величезна користь від застосування математики до різних досвідченим наук представляється їм дивною випадковістю »[67, с. 221]. Очевидно, прірва між переконаними емпіриками і раціоналістами настільки величезна, що ніякі доводи не зможуть змусити одних перейти в табір інших. Немає загальної методології для всіх дослідників природи. Математики, фізики та хіміки слідують своїй вродженій методології, яка пов'язана не з якоюсь засвоєної в університеті філософією, а глибинною психологією конкретної особистості.

цитована література