Геометрія (Декарт)

1. Ідейні особливості підходу Декарта [ правити | правити код ]
2. Узагальнення поняття числа [ правити | правити код ]
3. Аналітична геометрія [ правити | правити код ]
4. Позначення Декарта [ правити | правити код ]
5. першодруки [ правити | правити код ]
6. Текст в мережі [ правити | правити код ]

«Геометрія» ( фр. La Géométrie) - праця Рене Декарта , Опублікований в Лейдені (Голландія) в 1637 році в якості третьої додатки до філософського трактату Декарта « Міркування про метод ». Число сторінок: 106. Ім'я автора в першому виданні не було вказано. Це єдиний твір Декарта, повністю присвячене математики; вона розглядалася автором як зразок застосування його загальних методів. Після 1637 року «Геометрія» видавалася окремо від «Міркування про метод» [1] .

«Геометрія» Декарта стала поворотним пунктом у розвитку нової математики, вона була настільною книгою найбільших математиків XVII століття. Головною її цінністю було те, що книга містила виклад нового розділу математики - аналітичної геометрії , Яка дозволяла за допомогою системи координат перевести геометричні задачі на алгебраїчний мову і тим самим істотно спрощувала їх дослідження і рішення. Крім того, Декарт використовував в «Геометрії» зручну математичну символіку , Яка з цього моменту стала загальноприйнятою в науці. Нарешті, «Геометрія» почала процес перемикання уваги математиків з вивчення числових величин на вивчення залежностей між ними - в сучасній термінології, функцій [2] .

Революційні перетворення в математиці, проведені в «Геометрії», дозволили Декарту вирішити ряд завдань, недоступних старих методів. Декартівський підхід послужив основою для розробки до кінця XVII століття Ньютоном і Лейбніцем математичного аналізу .

У певному сенсі можна сказати, що Декарт поміняв пріоритети алгебри і геометрії, виправивши стратегічну помилку давньогрецьких математиків . У V столітті до н. е. вибухнув перша криза підстав математики [3] - піфагорійці виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, тобто їх відношення (2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} ) Не можна висловити ні натуральним числом , ні дробом . Однак інших числових об'єктів, крім натуральних чисел, античні математики не визнавали, навіть дріб розглядалася ними не як число, а як співвідношення ( пропорція ). Знайти вихід зумів в IV столітті до н. е. Евдокс Кнідський - він ввів, поряд з числами, поняття геометричних величин (Довжин, площ, обсягів). Для однорідних величин були визначені арифметичні операції , Аналогічні числовим. Теорія Евдокса була викладена Евклидом в п'ятій книзі його « почав », І вона використовувалася в Європі до XVII століття. Теореми про числах Евклиду доводилося окремо передоказивать для величин, та й арифметика величин була значно біднішими, ніж числова - хоча б тому, що стосувалася тільки однорідних величин [4] [5] .

В Новий час з'ясувалося, що побудова числової алгебри на основі геометрії було помилкою. Наприклад, з точки зору геометрії вираження x 2 + x {\ displaystyle x ^ {2} + x} і навіть x 4 {\ displaystyle x ^ {4}} не мали геометричного тлумачення (не визначена фізична розмірність величини-результату) і тому не мали сенсу; то ж відноситься до негативним числах [6] .

Декарт пішов іншим шляхом - замість відомості алгебри до геометрії він звів геометрію до алгебри, і цей шлях виявився набагато більш плідним. Щоб зробити це можливим, Декарт розширив поняття числа - воно увібрало все речові числа , включаючи ірраціональні , І є абстрактним , Тобто відокремлено від геометрії [7] . Окреме поняття геометричної величини тоді стає зайвим. алгебраізація геометрії дозволила, крім того, виявити загальні риси в геометричних задачах, які здавалися абсолютно незалежними [8] [9] .

У поєднанні з символічною алгеброю Франсуа Вієта і добре розвиненою до цього моменту системою алгебраїчних позначень (у розвитку якої і сам Декарт брав участь) це нововведення дозволяло проводити математичні дослідження небаченої раніше глибини і спільності. Вперше план такої реформи математики Декарт виклав 26 березня 1619 року в листі голландському математику Ісааку Бекману . Додатковий матеріал Декарт отримав в ході своїх занять оптикою [10] .

Декарт практично не посилається в «Геометрії» на праці інших вчених, що дало привід Валліс і декільком іншим математикам звинуватити його в плагіаті ідей інших алгебраїстів, зокрема, Херріот і Жирара . Втім, інший свій трактат, «Діоптріка», Декарт також побудував так, як ніби до нього математичної оптикою ніхто не займався [11] [12] .

Безсумнівна вплив на Декарта надав Франсуа Вієт , Засновник символічної алгебри. Як згадувалося вище, основні ідеї своєї реформи Декарт почав розробляти ще в 1619 році, так що в вузлових пунктах своєї програми він цілком самостійний. У цьому переконує також його листування. Жирар раніше Декарта сформулював основну теорему алгебри (1629), а Херріот першим досліджував розкладання многочлена на лінійні множники (1631). Математичну символіку Жирара і Херріот Декарт не застосовував, а з книгою Херріот ознайомився вже після виходу в світ «Геометрії». Декарт активно листувався з П'єром Ферма , Який також може претендувати на честь відкриття аналітичної геометрії, проте вплив Ферма в працях Декарта не відчувається. Ніхто з попередників не запропонував таку радикальну реформу математики, як Декарт [13] [14] .

Ідейні особливості підходу Декарта [ правити | правити код ]

Універсальний метод вирішення завдань [ правити | правити код ]

При всій важливості створення аналітичної геометрії, публікацією «Геометрії» Декарт хотів домогтися набагато масштабнішою мети - дати максимально загальний метод рішення математичних задач. Цей загальний (як він вважав) метод Декарт викладає наступним чином. Більшість з математичних задач в кінцевому рахунку може бути зведене до алгебраїчним рівнянням або системі таких рівнянь. Тому рішення задачі є просто обчислення коренів цих рівнянь . Якщо при вирішенні задачі виникають не алгебраїчні, а інші ( трансцендентні ) Рівняння, то для них, вважав Декарт, загального методу рішення не існує. Для фактичного обчислення коренів Декарт застосовує графічний метод - коріння виходять як точки перетину прямих, кіл та інших алгебраїчних кривих [15] . Декарту було відомо, що побудова двох кривих ступенів m {\ displaystyle m} і n {\ displaystyle n} дозволяє вирішити деякий рівняння ступеня m n {\ displaystyle mn} [16] .

Наприклад, щоб вирішити рівняння:

z 4 = p z 2 - q z + r {\ displaystyle z ^ {4} = pz ^ {2} -qz + r}

Декарт уявляв його у вигляді системи:

{X = z 2 x 2 + z 2 - (p + 1) x + qz - r = 0 {\ displaystyle {\ begin {cases} x = z ^ {2} \\ x ^ {2} + z ^ { 2} - (p + 1) x + qz-r = 0 \ end {cases}}}

Перше рівняння дає на площині (x, z) параболу , друге - окружність , І залишилося знайти точки їх перетину. Декарт показав, що аналогічними методами можна розв'язувати рівняння п'ятого і шостого порядку, для яких не існує алгебраїчних формул, подібних формулою Кардано [17] .

Всі вирази, що входять в рівняння, Декарт переносив в ліву частину, так що права частина завжди дорівнює нулю; ця техніка зводила дослідження до знаходження коренів многочлена в лівій частині і дослідженню зв'язку цих коренів з коефіцієнтами рівняння [16] .

Узагальнення поняття числа [ правити | правити код ]

Як було показано вище, Декарт, на відміну від античних авторів, об'єднав числа і геометричні величини. При цьому він розрізняв три типи чисел: цілі , дробові і ірраціональні ( лат. surdus, буквально: «глухі»); істотних відмінностей між ними Декарт не робив, оскільки вивчення безперервних кривих і їх алгебраїчних образів несумісне з пифагорейским обмеженням раціональними числами [18] . Декарт також зробив крок до легалізації негативних чисел , Зображуючи їх як відрізки, протилежні позитивним. Хоча за традицією Декарт ще називав негативні коріння «помилковими», він вже об'єднував їх з «істинними», тобто позитивними, в загальну категорію «дійсних коренів» - протиставляючи їх уявним ( комплексним ) коріння [19] .

Реформа Декарта означала «зрівняння в правах» цілих, дробових і ірраціональних чисел. Цей багаторічний процес завершив ньютон , Який в « універсальної арифметиці »(1707) дав класичне визначення дійсного числа як відношення результату вимірювання до одиничного еталону [19] [20] :

Аналітична геометрія [ правити | правити код ]

Зачатки координатного методу історики виявили в «Конічних перетинах» Аполлонія Пергського (III століття до н. Е.). Основні ідеї аналітичної геометрії склалися у Декарта не пізніше 1632 року. Принцип формулювання геометричних властивостей на алгебраїчному мовою одночасно з Декартом розробляв інший видатний французький математик, П'єр Ферма , Але його роботи не були опубліковані за життя автора. Підхід Ферма був аналогічний Декартівської, хоча поступався останньому по ясності і глибині викладу [21] .

Координатна система Декарта дещо відрізнялася від сучасної. Декарт фіксує на площині початок координат і позитивну вісь координат (він розглядав тільки позитивні координати, причому вісь ординат у нього горизонтальна), потім проектує на цю вісь, перпендикулярно або під іншим фіксованим кутом , Точки досліджуваної кривої, фактично отримуючи другу координату ( абсциссу ) Як довжину проектує відрізка. Далі Декарт для цієї кривої виводить співвідношення, що зв'язує абсциси і ординати (рівняння кривої). Після цього будь-який геометричне твердження про даної кривої можна вивести чисто алгебраїчно з рівняння кривої, не звертаючись до креслень. Втім, віддаючи данину давньої традиції, Декарт зазвичай призводить і геометричне тлумачення своїх рівнянь. Відзначимо, що терміни абсциси, ординати, координати в сучасному сенсі з'явилися набагато пізніше у Лейбніца, а другу вісь координат вперше ввів коментатор Декарта Клод Рабуель (Claude Rabuel, 1669-1728) у виданому посмертно (1730) доповненні до «Геометрії» [22] [23] [24] [25] .

Декарт розділив всі безперервні криві на геометричні і механічні; перші відрізняються тим, що їх можна описати алгебраїчним рівнянням . Механічні криві, такі як спіралі або квадратріси , Декарт вивів за межі свого дослідження. Він провів першу в історії класифікацію плоских алгебраїчних кривих різних ступенів, згодом виправлену і доповнену Ньютоном [21] . Декарт ясно усвідомлював, що його алгебраізація таїть в собі приховану небезпеку - роблячи висновки з формули для координат, треба, в принципі, кожен раз перевіряти, що ці виводи не залежать від вибору координатної системи і не є випадковим наслідком якоїсь особливості поточної системи координат . Міркування Декарта на цю тему започаткували теорії інваріантів [9] .

Позначення Декарта [ правити | правити код ]

У Декарта алгебраїчна символіка отримала практично сучасний вигляд; «Геометрія» - перша в історії книга, формули в якій сучасний читач сприйме без труднощів. Декарт запропонував використовувати для відомих параметрів початкові літери алфавіту: a, b, c ..., {\ displaystyle a, b, c \ dots,} а для невідомих - останні букви: x, y, z. {\ Displaystyle x, y, z.} Ту ж трійку x, y, z {\ displaystyle x, y, z} Декарт використовував в якості символів координат при побудові графіків ; сам Декарт, втім, обмежився плоскими кривими, активне використання просторових координат почав пізніше Клеро [26] [7] .

Декарт сформував сучасну запис піднесення до степеня , Наприклад: x 3, {\ displaystyle x ^ {3},} з показником ступеня правіше і вище символу змінної . Ближче до кінця століття ньютон поширив цю запис на дробові і негативні показники. Ф. Кеджорі характеризує декартівську запис ступенів як найвдалішу і гнучку символіку у всій алгебри - вона проста, компактна і наочна, полегшує перетворення і, що виявилося особливо важливим для подальшого, вона стимулювала розширення поняття зведення в ступінь на негативні, дробові і навіть комплексні показники, а також поява в математиці статечної і показовою функції ; всі ці досягнення важко було б здійснити при використанні позначень XVI століття [27] .

Алгебраїчна символіка Декарта майже повністю була прийнята наступними поколіннями вчених, лише незвичайний декартівський знак рівності був замінений на більш вдалий символ Роберта Рекорда . Крім того, були зняті обмеження на коефіцієнти, які Декарт вважав завжди невід'ємними, а виключення з цього правила відбивав спеціальним значком [28] . нідерландський математик Йоганн Худде вже в 1657 році дозволив літерним змінним приймати значення будь-якого знака [29] . У монографії Ньютона « Універсальна арифметика »(1707) використовуються позначення Декарта і знак рівності Рекорда. Уніфікація алгебраїчних позначень до кінця XVII століття в основному завершилася [28] .

«Геометрія» ділиться на три частини (книги). Твердження автора, як правило, не супроводжуються суворими доказами, але ілюструються великою кількістю прикладів [16] .

Книга перша: «Про завдання, які можна побудувати, користуючись тільки колами і прямими лініями». Уже в першому розділі автор заявляє: «Усі завдання геометрії можна легко привести до таких термінів, що для їх побудови потрібно буде потім знати лише довжину деяких прямих ліній». Декарт описує відповідність між арифметичними операціями і еквівалентними їм геометричними побудовами, знайомить читача зі своєю системою позначень. Далі він дає метод побудови рівнянь для розв'язуваної задачі - треба просто записати формулами дані в умові завдання співвідношення і потім шукати рішення отриманих рівнянь [30] .

Як приклад ефективності свого методу Декарт розглянув і вирішив класичну задачу Паппа (З трактату Паппа «Математичне збори», книга VII): для n {\ displaystyle n} прямих на площині потрібно знайти геометричне місце таких точок, для яких твір довжин відрізків, проведених з цих точок до n / 2 {\ displaystyle n / 2} даних прямих під однаковими кутами, має задане відношення до аналогічного добутку довжин відрізків, проведених до решти прямим. Папп визначив, що шукане геометричне місце є конічним перетином , Однак повного докази не дав; Декарт же розглянув не тільки загальний випадок, але і особливі ситуації (частина дослідження поміщена їм в книгу другу) [22] [23] [31] .

Книга друга: «Про природу кривих ліній». Ця книга присвячена додаткам алгебри до геометрії. Тут Декарт вказав загальний метод проведення нормалей і дотичних до алгебраїчних кривим, який потім застосував до деяких задач оптики . диференціальне числення ще не було створено, і Декарт використовує метод невизначених коефіцієнтів , Який ілюструється на прикладі еліпса , цисоїди Діокла і овалу [32] . коли П'єр Ферма повідомив Декарту свій диференційний метод проведення дотичних, більш простий і практично сучасний, той його відкинув як виходить за межі алгебри, хоча при дослідженні циклоїди і логарифмічною спіралі він сам використовував методи, що не укладаються в декартівську ідеологію (наприклад, метод неподільних ) [33] [34] .

Декарт висловив в цьому розділі песимізм щодо можливості обчислення довжини дуги довільної кривої ( «випрямлення кривої», як тоді говорили): на його думку, «відношення між прямими і кривими невідомо і, навіть, думаю, не може бути пізнане людьми» [35] [36] , В той час дійсно ніяка крива, крім окружності , Не піддавалася випрямлення. Песимізм виявився невиправданим - двадцять років потому (в 1657 році) Вільям Нейл здійснив випрямлення параболи Нейла , А ще через рік Рен знайшов довжину арки неалгебраїчні циклоїди . далі математичний аналіз створив загальну теорію знаходження довжини дуги, яка негайно була використана для самих різних кривих [37] .

В кінці другої частини Декарт пише: «Я вважаю тепер, що нічого не пропустив з почав, необхідних для пізнання кривих ліній». Насправді неозорі можливості, відкриті аналітичної геометрії, послужили лише початком вражаючого прогресу нової геометрії [23] .

Книга третя: «Про побудову тілесних або перевершують тілесні завдань». У третій книзі Декарт виклав накопичені до цього періоду основні теореми алгебри і прийоми розв'язання рівнянь, які пов'язав в єдину систему, зі зручною спільною символікою і термінологією. Зокрема, він сформулював основну теорему алгебри : Рівняння може мати стільки різних коренів , Яка його ступінь (Комплексні коріння Декарт називав «уявними» і приділяв їм мало уваги) [38] .

Далі дані (без доведення) правило знаків Декарта для визначення числа позитивних і негативних коренів за коефіцієнтами многочлена (строго доведено тільки в XVIII столітті Лагранжем ), А також правила для визначення положення речових коренів на числової осі . Випередивши на століття Етьєна Безу , Декарт показав, що якщо a {\ displaystyle a} - корінь многочлена p (x), {\ displaystyle p (x),} то цей многочлен має множник xa, {\ displaystyle xa,} тобто може бути представлений у вигляді (xa) p 1 (x) {\ displaystyle (xa) p_ {1} (x)} . Декарт зводить задачу трисекции кута до кубічного рівняння і вирішує його звичайним своїм методом, за допомогою конічних перетинів [38] .

Декарт висловив думку, що рівняння третьої і більш високого ступеня вирішити за допомогою циркуля і лінійки , Взагалі кажучи, неможливо; іншими словами, загальне кубічне рівняння не можна вирішити, використовуючи тільки квадратні (а не кубічні ) Коріння. Це твердження виявилося вірним, хоча міркування автора на цю тему малопереконливі і доказової сили не мають. Але Декарт правильно зазначив, що рішення циркулем і лінійкою кубічного рівняння з цілочисельними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом 1 можливо, якщо це рівняння має дійсний корінь (який, очевидно, буде цілим числом ). Декарт також вичерпно вирішив аналогічне питання для рівняння 4-го ступеня , Побудувавши його резольвенту 3-го порядку [39] [40] .

Завершуючи «Геометрія», Декарт жартівливо зауважив [41] :

Справді, праця Декарта, особливо після виходу його латинського перекладу (+1649, Франс ван схотят ), Відразу придбав численних прихильників і викликав безліч публікацій, автори яких слідували по шляху, вказаному Декартом, і активно розвивали його ідеї. «Геометрія» витримала протягом XVII століття чотири перевидання в Голландії і Німеччини. З кожним новим виданням текст Декарта обростав великими доповненнями та роз'ясненнями важких місць, вже друге видання займало два томи [1] . Сам Декарт після «Геометрії» певною мірою відійшов від математики і віддавав перевагу розвитку своєї метафізичної натурфілософії [33] .

Серед перших ідейних послідовників Декарта були ван схотят , Еразм Бартолін , Йоганн Худде , Флорімон де Бон . Безсумнівна вплив Декарта зазнав Джон Валліс (1655), який опублікував трактат з промовистою назвою «Загальна математика або повний курс арифметики» (Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum, 1657), згодом перероблений в «Трактат з алгебри» (1685). Валліс поширив алгебраизации на метод неподільних (До цього чисто геометричний), близько підійшовши до створення інтегрального числення [42] .

Ісаак Ньютон в молодості зачитувався «Геометрією» Декарта і навіть ставив її вище « почав » Евкліда . У « універсальної арифметиці »Ньютона (1707) відділення алгебри від геометрії відбулося остаточно [38] [43] [44] . Як зазначав історик Карл Бойєр , В своїх перших публікаціях з аналізу Готфрід Лейбніц , Свідомо чи ні, наслідував стилю декартовой «Геометрії» [45] ; в одному з листів Лейбніц називає своїми вчителями Галілея , Декарта і Гюйгенса [46] .

Хоча створення в кінці XVII століття математичного аналізу знецінило тезу Декарта про універсальність алгебраїчного підходу, розширення цієї тези на новій, аналітичної основі зберегло все краще, що було в піонерській роботі Декарта, і дозволило успішно застосувати нову математику в багатьох природничих науках [47] .

першодруки [ правити | правити код ]

• 1637: перше видання, Лейден , Без вказівки імені автора.
• 1 649: латинський переклад ( Франс ван схотят ).
• 1659-1661: друге латинське видання, Амстердам. Додані статті ван схотят, Еразма Бартоліні , Йоганна Худде , Флорімон Де Бона , Яна де Вітта та других.
• Тисяча шістсот вісімдесят три: третє латинське видання, незначно доповнене.
• 1 695: четвертий латинське видання, Франкфурт на Майні , За участю і доповненнями Якоба Бернуллі .

Текст в мережі [ правити | правити код ]

Російський переклад [ правити | правити код ]

• Рене Декарт. Геометрія. З додатком вибраних робіт П. Ферма і листування Декарта / Переклад, примітки і статті А. П. Юшкевича . - М.-Л .: Гостехиздат , 1938. - 297 с. - (Класики природознавства).
  • Рене Декарт. Геометрія. З додатком вибраних робіт П. Ферма і листування Декарта / Переклад, примітки і статті А. П. Юшкевича. - Изд. 2-е, испр .. - М.: URSS , 2010. - 296 с. - (Фізико-математичний спадщина: математика (історія математики)). - ISBN 978-5-397-01070-2 .

1. ↑ 1 2 Історія математики, том II, 1970 , С. 30.
2. ↑ Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 257.
3. ↑ Матвієвська Г. П. Вчення про число на середньовічному Близькому і Середньому Сході. - Ташкент: ФАН, 1967. - С. 28. - 344 с. Всупереч назві, книга простежує історію поняття числа з найдавніших часів.
4. ↑ Колмогоров А. Н. Величина // Математична енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія, 1977. - Т. 1.
5. ↑ Історія математики. З найдавніших часів до початку Нового часу // Історія математики / За редакцією А. П. Юшкевича , В трьох томах. - М.: Наука, 1970. - Т. I. - С. 78.
6. ↑ Башмакова І. Г. Лекції з історії математики в Стародавній Греції // Історико-математичні дослідження . - М .: Физматгиз , 1958. - № 11. - С. 309-323.
7. ↑ 1 2 Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 279-282.
8. ↑ Scott, JF The scientific work of René Descartes. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .
9. ↑ 1 2 Mac Tutor .
10. ↑ З історії алгебри XVI-XVII ст, 1979 , С. 147-148.
11. ↑ З історії алгебри XVI-XVII ст, 1979 , С. 143-144.
12. ↑ Стіллвелл Д. Математика і її історія. - Москва-Іжевськ: Інститут комп'ютерних досліджень, 2004. - С. 127. - 530 с.
13. ↑ Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 205, 227, 290-292.
14. ↑ Цейт Г. Г., 1938 , С. 211.
15. ↑ Історія математики, том II, 1970 , С. 33, 43.
16. ↑ 1 2 3 Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 281-282.
17. ↑ Вілейтнер Г., 1960 , С. 58.
18. ↑ Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 283.
19. ↑ 1 2 Історія математики, том II, 1970 , С. 35-36.
20. ↑ Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 293.
21. ↑ 1 2 Історія математики, том II, 1970 , С. 103-104.
22. ↑ 1 2 Історія математики, том II, 1970 , С. 106-109.
23. ↑ 1 2 3 Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 287.
24. ↑ Геометрія, 1938 , С. 215.
25. ↑ Вілейтнер Г., 1960 , С. 232, 247.
26. ↑ Історія математики, том II, 1970 , С. 113.
27. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §315.
28. ↑ 1 2 Історія математики, том II, 1970 , С. 40-46.
29. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §392.
30. ↑ Геометрія, 1938 , С. 14.
31. ↑ Вілейтнер Г., 1960 , С. 216-218.
32. ↑ Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 285.
33. ↑ 1 2 Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 289.
34. ↑ Вілейтнер Г., 1960 , С. 218-221.
35. ↑ Геометрія, 1938 , С. 49.
36. ↑ Оригінал цитати на французькою мовою : «La proportion, qui est entre les droites & les courbes n'estant pas connuë, & mesme ie croy ne le pouuant estre par les hommes », див. Descartes, René. Discours de la méthode ... . - 1637. - С. 340.
37. ↑ Історія математики, том II, 1970 , С. 191-192.
38. ↑ 1 2 3 Історія математики, том II, 1970 , С. 42-45.
39. ↑ Рибников К. А. Історія математики в двох томах. - М.: Изд. МГУ, 1960. - Т. I. - С. 135.
40. ↑ Цейт Г. Г., 1938 , С. 221-223.
41. ↑ Геометрія, 1938 , С. 113.
42. ↑ Цейт Г. Г., 1938 , С. 228-230.
43. ↑ Вілейтнер Г., 1960 , С. 222-238.
44. ↑ Стіллвелл Д. Математика і її історія. - Москва-Іжевськ: Інститут комп'ютерних досліджень, 2004. - С. 166. - 530 с.
45. ↑ Boyer CB The History of the Calculus and its conceptual development . - Dover Publications, inc, 1949. - P. 207-208. - 346 p.
46. ↑ Філіппов М. М. Лейбніц: Його життя і діяльність: громадська, наукова і філософська діяльність. Глава III. - СПб. : Изд. Ф. Павленкова. - 96 с. - ( ЖЗЛ ; Вип. 129).
47. ↑ Юшкевич А. П. Декарт і математика, 1938 , С. 292-293.

• Вілейтнер Г. Історія математики від Декарта до середини XIX століття. - М.: ГІФМЛ, 1960. - 468 с.
• Математика XVII століття // Історія математики / За редакцією А. П. Юшкевича , В трьох томах. - М.: Наука, 1970. - Т. II.
• Нікіфоровський В. А. З історії алгебри XVI-XVII ст. - М.: Наука, 1979. - 208 с. - (Історія науки і техніки).
• Цейт Г. Г. Історія математики в XVI і XVII століттях / Обробка, примітки і передмова М. Вигодський . - Изд. 2-е. - М.-Л .: ОНТИ, 1938. - 456 с.
• Юшкевич А. П. Декарт і математика // Декарт Р. Геометрія. З додатком вибраних робіт П. Ферма і листування Декарта / Переклад, примітки і статті А. П. Юшкевича . - М-Л .: Гостехиздат, 1938. - С. 257-294. - 297 с. - (Класики природознавства).
• Яновська С. А. Про роль математичної строгості в творчому розвитку математики і спеціально про «Геометрії» Декарта // Історико-математичні дослідження . - М.: Наука, 1966. - № 17. - С. 151-184.
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 p. - ISBN 978-1-60206-684-7 .
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (1929 reprint) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xii + 392 p. - ISBN 978-1-60206-713-4 .

• Джон Дж. О'Коннор і Едмунд Ф. Робертсон. Descartes (Англ.) - біографія в архіві MacTutor .