Евклід

[Грец. Εὐκλείδες] (кін. IV - поч. III ст. До Р. Х.), древнегреч. математик і педагог, представник олександрійської математичної школи, широку популярність здобув завдяки твору з основ математики, озаглавленому «Начала» (Στοιχεῖα, букв.- елементи). [Грец

Евклід. Літографія. XVIII ст.

Відомості про життя Є. не тішать розмаїттям: по всій видимості, початкове філософське і математичну освіту він здобув в Афінах від учнів Платона ; можливо, сам Е. також був платоником по філософських поглядах. За свідченням Паппа Олександрійського, Е. викладав математику в Олександрії (Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt / Ed. F. Hultsch. B., 1877. Vol. 2. P. 678), Прокл Діадох називає Е. сучасником царя Птолемея I Сотера (305-283 рр. до Р. Х.), к-рому, по приводиться Проклом переказами, Е. наважився сказати, що в вивченні геометрії не існує особливих царських доріг (Procl. In primum Euclidis Elementorum librum Commentarii / Ed. G. Friedlein. Lpz., 1873. P. 68). Виходячи з цих непрямих відомостей, «розквіт» Е. суч. дослідники відносять до 300 р до Р. Х. (Sch ö nbeck. 2003. S. 9). У средневек. араб. авторів зустрічаються висхідні до пізньої античності досить докладні відомості про Е., достовірність яких брало сумнівна (Ibid. S. 6). В середні віки лат. перекладачі та видавці нерідко плутали Е. з філософом Евклідом з Мегари, сучасником Платона, через що невірно називали його Мегарец (Megarensis).

У трактаті «Начала», що складається з 13 книг, Е. систематизував і узагальнив досягнення суч. йому математики в тому вигляді, як вона вивчалася в школі Платона. Основними структурними елементами твори Е. є визначення (ὅροι), а також прийняті без доказу постулати (αἰτήματα) і аксіоми (κοινα ἔννοιαι - загальні поняття), на підставі яких брало Е., використовуючи чисто дедуктивний метод, створює різні «пропозиції» ( лат. propositiones, т. е. стану, що вимагають докази), які впосл. були класифіковані як теореми (θεωρήματα) і особливі завдання на побудову (προβλήματα).

Відповідно з такою структурою роботи кн. 1 починається з 23 елементарних визначень (напр., Визначення 1: «Точка - те, що не має частин», визначення 2: «Лінія - довжина без ширини» і т. Д.), 5 постулатів і 5 аксіом, після чого слідують основні «пропозиції» планіметрії, серед яких - ознаки рівності трикутників і теорема про рівність суми кутів трикутника 2 прямим (Euclides. Elementa. I 32). Книга закінчується доведенням теореми Піфагора (I 47) і зворотної їй теореми (I 48). Кн. 2 присвячена геометричній алгебрі, т. Е. Доказам алгебраїчних тотожностей за допомогою геометричних побудов. У цій книзі проводиться поділ відрізка в спеціальному відношенні (II 11), в епоху Ренесансу що отримав назву «золотий перетин», наводиться узагальнення теореми Піфагора (II 12-13), в суч. термінології відповідне теоремі косинусів. В кн. 3 викладаються основні властивості кіл, дотичних, хорд, вписаних кутів, доводиться теорема про ступінь точки (III 35-37). В кн. 4 розглядаються вписані і описані фігури, наводяться побудови правильних багатокутників, зокрема правильних 5- і 15-кутників. Кн. 5 присвячена загальної теорії відносин і пропорцій. В кн. 6 ця теорія застосовується до планіметрії (теорія подібних фігур, теорема Фалеса і пропорційні відрізки, розподіл відрізків в різних відносинах).

У книгах 7-9 викладається елементарна арифметика; по всій видимості, ці книги містять відкриття піфагорійців (не пізніше V ст. до Р. Х.) і засновані на незбережених творах Архита Тарентского. Кн. 7 відкривається 22 визначеннями, в т. Ч. Визначеннями одиниці (μονάς), числа (ἀριθμός), парних і непарних, і складових, взаємно простих, скоєних чисел, за к-римі слід виклад основних властивостей подільності. Описується «метод поперемінного віднімання» для знаходження найбільшого загального дільника дек. чисел (VII 1-3), який отримав впосл. назва алгоритму Е. Кн. 8 містить розвинену теорію безперервних пропорцій. В кн. 9 триває виклад властивостей подільності і доводиться нескінченність безлічі простих чисел (IX 20). У 10-й кн., Що містить 115 «пропозицій» і займає за обсягом майже 4-у частину трактату, досліджуються і класифікуються ірраціональні величини і відносини. Вводиться 3 основних роду ірраціональних відрізків, потім проводиться більш тонке поділ иррациональностей на 13 видів (X 111). Можливо, кн. 10 являє собою трактат Теетет, цілком запозичений Е. (Ван дер Варден. 1959. С. 227-239). Кн. 11-13 присвячені стереометрії. В кн. 11 вивчаються перетину площин і прямих, вводяться визначення просторових тіл (призма, піраміда, циліндр, конус, сфера, паралелепіпед і ін.) І викладаються їх основні властивості. В кн. 12 за допомогою методу вичерпання Евдокса Кнідського вивчаються співвідношення обсягів тел (зокрема, доводиться, що відношення обсягів 2 куль дорівнює відношенню кубів їх радіусів). Головна тема кн. 13 - побудова і вивчення властивостей 5 правильних багатогранників (т. Н. Платонових тел): тетраедра, куба, октаедра, Додекаедр і ікосаедра; ця книга також заснована на результатах Теетет.

Існують 14-я книга «Почав», імовірно додана Гіпсікл (II ст. До Р. Х.), і 15-я книга, що належить невідомому автору, що жив бл. VI ст.

Трактат Е. активно використовувався і коментувався наступними грец. авторами, найбільш відомі коментарі були складені Героном, Паппом, Проклом і Сімплікія . Практично всі існуючі рукописи «Начал» сходять до редакції, виконаної Теоном Олександрійським (IV ст.), Більш рання редакція тексту представлена лише 1 рукописом (Vat. Gr. 190, X ст.), А також значним числом грец. і араб. фрагментів. До X-XII ст. «Начала» були неодноразово переведені на араб. мова, існували переклади і на ін. сх. мови: перський, єврейський, сирійський і вірменський. Перший переклад «Начал» на лат. мова був виконаний ок. 500 м Боецієм , Проте вже до VIII-IX ст. він був втрачений, збереглися лише невеликі фрагменти. Повністю текст «Начал» знову стає відомим на Заході в XII в., Коли з'являються 3 незалежних перекладу з араб. і 1 переклад з грец. мови. Ще більшого значення для рецепції тексту Є. європ. наукою мали 2 средневек. переробки тексту «Начал», виконані Робертом з Честера (бл. 1140) та Іваном Кампанусом (бл. 1 255, друковане видання - тисяча чотиреста вісімдесят-два). Останній використовував грунтується на араб. джерелах текст Роберта, доповнивши його досягненнями суч. йому математики. Лат. версія Кампануса залишалася досить популярною в Європі навіть після появи видання оригінального грец. тексту (1 533). Між 1543 і 1 567 рр. були опубліковані перші італ., англ., франц. і нім. переклади «Почав» (Folkerts. 2006. P. III 2).

Прагнення Е. до побудови в «Засадах» логічно суворої і послідовної системи математичного знання, а також енциклопедичність змісту і виняткові дидактичні гідності «Начал» викликали захоплення математиків наступних епох і зробили цей твір найуспішнішим і авторитетним підручником математики (насамперед - геометрії) на протягом майже 2 тисячоліть. За словами ван дер Вардена, Е. є «найбільшим шкільним учителем, якого тільки знає історія математики» (Ван дер Варден. 1959. С. 268).

Значний внесок у розвиток древнегреч. науки внесли також ін. твори Е., з яких брало збереглися: «Дані» (або «Про заданих величинах», Ϫεδομένα), трактат присвячений деяким алгебраіко-геометричним задачам, зокрема пропонується ряд побудов, що дозволили грекам вирішувати квадратні рівняння геометричним способом ; «Про розподіл фігур» (Περ διαιρέσων), де розглядається розподіл фігур за допомогою прямої на 2 частини, що мають задане відношення, зберігся тільки в арабському перекладі; «Оптика» (Οπτικά), містить вчення про перспективу; «Глядачеві образи» (Θαινόμενα), де викладається елементарна теоретична астрономія (розробляється в платонівському ключі наука про обертається сфері). Трактат «Катоптрика» (Κατοπτρικά), що пропонує елементи теорії дзеркальних зображень, в наст. час вважається пізнішої компіляцією (Lejeune. 1948; Sch ö nbeck. 2003. S. 102).

На особливу увагу заслуговує трактат «Розподіл канону» (Κατατομὴ κανόνος), т. Е. Монохорда - муз. інструменту з 1 натягнутою струною, перетискаючи яку в різних місцях можна отримувати різні інтервали в заданому математичному співвідношенні. У цьому творі, широко відомому під лат. назвою «Sectio canonis» (сохр. більш ніж в 200 рукописах), Е. узагальнив і розвинув досягнення піфагорейської теорії музики (гармоніки). У наступні століття ця робота була доповнена і набула такого ж значення для муз. науки, яке «Начала» мали для математики. Наступність по відношенню до теоретичних положень в тому вигляді, як вони викладені в цій праці Е. (уделявшего особливу увагу таким аспектам теорії музики, як тісний зв'язок муз. Акустики і математики, зіставлення муз. Інтервалів і числових відносин і обгрунтування через них консонансів, розподіл монохорда в різних родах), чітко простежується в працях найбільших теоретиків музики аж до епохи Відродження (Птолемей, Никомах, Боецій , Гвідо Аретінскій та ін.).

З античних джерел відомо про існування ін., Нині загублених творів Е .: «Pseudaria» (Ψευδάρια, про логічні помилки в математиці), «Про конічні перетини» (Κωνικά, матеріал увійшов до однойменного трактат Аполлонія Пергського), «Геометричні місця на поверхнях »(Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ),« Порізми »(Πορίσματα, упом. у Паппа і Прокла). Витриманий в традиціях Аристоксена трактат «Введення в гармоніку», к-рий приписується Е. у мн. старовинних рукописах, суч. дослідники вважають приналежним Клеоніду.

Дотримуючись Платону, наказує кожному в якості підготовки до філософії вивчення 4 «математичних» наук: арифметики, геометрії, гармоніки (т. Е. Теорії музики) і астрономії, Е. дійсно охопив своїми творами всю елементарну математику епохи Платона і його учнів, заклавши шляху її розвитку на довгі роки вперед. Значення досягнень Е. для математичної науки настільки велике, що, за твердженням ван дер Вардена, «все античні і сучасні математики є його учнями» (Ван дер Варден. 1959. С. 275). Дек. фундаментальних понять і конструкцій суч. математики названі в честь Е. (евклидово простір, евклидова метрика, алгоритм Е., евклидово кільце і ін.).

Соч .: Opera omnia / Ed. JL Heiberg et H. Menge. Lipsiae, 1883-1916. 9 vol .; The Thirteen Books of Euclid's Elements / Transl. with Introd. and Comment. TL Heath. Camb., 1926. 3 vol .; Почала Евкліда / Пер. з грец. і коммент .: Д. Д. Мордухай-Болтовский. М .; Л., 1948-1950. 3 т .; The Euclidean Division of the Canon: Greek and Latin Sources / Ed. A. Barbera. Lincoln (Nebrasca), 1991; Прокл. Коментар до першої книги «Начал» Евкліда / Рус. пер., вступ. ст. і коммент .: Ю. А. Шічалін. М., 1994. Літ .: Lejeune A. Euclide et Ptolémée: Deux stades de l'optique géométrique grecque. Louvain, 1948; Ван дер Варден Б. Л. Пробуджує наука: Пер. з англ. М., 1959, 2007r; Knorr WR The Evolution of the Euclidean Elements. Dordrecht, 1975; Mathiesen TJ An Annotated Translation of Euclid's Division of a Monochord // J. of Music Theory. 1975. Vol. 19. P. 236-258; Mueller I. Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements. Camb., 1981; Steck M., Folkerts M. Bibliographia Euclideana. Hildesheim, 1981; Клайн М. Математика: Втрата визначеності. М., 1984; Glavas CB The Place of Euclid in Ancient and Modern Mathematics. Athens, 1994; Artmann B. Euclid: The Creation of Mathematics. NY, 1999; Щетніков А. І. Друга книга «Почав» Евкліда: Текст і інтерпретації: Зб. Новосибірськ, 2001; Sch ö nbeck J. Euklid. Basel, 2003; Родін А. В. Математика Евкліда в світлі філософії Платона і Аристотеля. М., 2003; Folkerts M. Euclid in Medieval Europe // Idem. The Development of Mathematics in Medieval Europe: The Arabs, Euclid, Regiomontanus. Aldershot, 2006.

А. Ю. Зубов