Головна онлайн підручники База репетиторів Росії Тренажери з математики Підготовка до ЄДІ 2017 онлайн
Глава 15. Неевклидова геометрія
15.2. Геометрія Лобачевського. Неевклідові геометрії
серед аксіом Евкліда була аксіома про паралельність прямих , А точніше, п'ятий постулат про паралельних лініях: якщо дві прямі утворюють з третьої по одну її сторону внутрішні кути, сума яких менше розгорнутого кута, то такі прямі перетинаються при достатньому продовженні з одного боку. У сучасному формулюванні вона говорить про існування не більше однієї прямої, що проходить через дану точку поза даною прямою і паралельної цієї даної прямої.
Складність формулювання п'ятого постулату породила думку про можливу залежність його від інших постулатів, і тому виникали спроби вивести його з інших передумов геометрії. Як правило, це закінчувалося невдачею. Були спроби докази від протилежного: прийти до протиріччя, припускаючи вірним заперечення постулату. Однак і цей шлях був безуспішним.
Нарешті, на початку XX століття майже одночасно відразу у кількох математиків: у К. Гаусса в Німеччині, у Я. Больяи в Угорщині і у М. Лобачевського в Росії виникла думка про існування геометрії, в якій вірна аксіома: на площині через точку, що не лежить на даній прямій, проходять принаймні дві прямі, що не перетинають дану.
В силу пріоритету М. Лобачевського, який першим виступив з цією ідеєю в 1826, і його вкладу в розвиток нової, відмінної від евклідової геометрії остання була названа в його честь «геометрією Лобачевського».
Аксіоматика планіметрії Лобачевского відрізняється від аксіоматики планіметрії Евкліда лише однієї аксіомою: аксіома паралельності замінюється на її заперечення - аксіому паралельності Лобачевського
Знайдуться така пряма a і така перестав лежить на ній точка A, що через A проходять принаймні дві прямі, що не перетинають a.
Як вже зазначалося в § 15.1, несуперечливість системи аксіом доводиться поданням моделі, в якій реалізуються дані аксіоми. Модель планіметрії Лобачевского на евклідовій площині, яка буде тут представлена, зроблена за матеріалами підручника «Геометрія» (А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. І. Рижик, М: Просвещение, 1991). Ця модель була запропонована французьким математиком Анрі Пуанкаре в 1882 році.
Для початку нагадаємо основні поняття й аксіоматику, на якій базувалося виклад, систематизувавши їх заново і доповнивши необхідними аксіомами.
За основні об'єкти були прийняті точка, пряма і фігура. За основні відносини між цими об'єктами приймаються:
1) точка належить фігурі, зокрема прямий;
2) точка лежить між двома точками для точок прямої.
Наступні визначення базуються на основних визначеннях.
- Фігура називається об'єднанням деяких даних фігур, якщо їй належать всі точки цих фігур, і ніякі інші.
- Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка.
- Променем AB називається частина прямої, що складається з усіх її точок, що лежать по ту ж сторону від точки A, що і точка B. Точка A називається вершиною променя.
- Кутом називається фігура, яка складається з точки - вершини кута і двох різних променів, що виходять з цієї точки, - сторін кута.
- Напівплощиною, обмеженою прямий a, називається фігура, що володіє наступними властивостями:
- вона не містить пряму a;
- якщо точки A і B належать півплощини, то відрізок AB не має спільних точок з a;
- якщо ж A належить півплощині, а B немає, то відрізок AB має спільну точку з прямою a.
Наведемо систему аксіом, позначивши римською цифрою номер групи, а арабської - номер аксіоми в групі.
I. Аксіоми зв'язку прямий і точки.
- Існують, принаймні, дві точки.
- Хоч би яка була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, які не належать їй.
- Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну.
- З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.
II. Метричні аксіоми відрізка.
- Кожен відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається кожен її точкою.
- На кожному промені від його початку можна відкласти відрізок заданої довжини і тільки один.
IV. Аксіоми площині.
- Пряма розбиває площину на дві півплощини.
- Кожен кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180 °. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
- Від будь-якого променя в задану полуплоскость можна відкласти кут із заданою градусною мірою, меншою 180 °, і тільки один.
- Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник в заданому розташуванні щодо даного променя.
V. Аксіома паралельності Евкліда.
Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній.
Побудова моделі Пуанкаре почнемо з того, що надамо конкретний зміст основних об'єктів і основних відносин планіметрії Лобачевского. Для цього фіксуємо на евклідовской площині E горизонтальну пряму x. Вона носить назву «абсолюту». Точками площини Лобачевського вважаються точки площині E, що лежать вище абсолюту x. Таким чином, в моделі Пуанкаре площину Лобачевського - це напівплощина L, що лежить вище абсолюту.
Прямими площині L вважаються півкола з центрами на абсолюті або промені з вершинами на абсолюті і перпендикулярні йому.
Фігура на площині Лобачевського - це фігура полуплоскости L. Належність точки фігурі розуміється так само, як і на евклідової площини E. При цьому відрізком площині L вважається дуга окружності з центром на абсолюті або відрізок прямої, перпендикулярної абсолюту (див. Рис. 15.2.1 ). Точка K лежить між точками C і D, значить, що K належить дузі CD. В умовах нашої моделі це еквівалентно тому, що K 'лежить між C' і D ', де C', K 'і D' - проекції точок C, K і D відповідно на абсолют. Щоб ввести поняття рівності неевклідових відрізків в моделі Пуанкаре, визначають неевклидова руху в цій моделі.
1
малюнок 15.2.1Неевклідовим рухом називається перетворення L, яке є композицією кінцевого числа інверсій з центрами на абсолюті і осьових симетрій площині E, осі яких перпендикулярні абсолюту. Інверсії з центром на абсолюті і осьові симетрії площині E, осі яких перпендикулярні абсолюту, називають неевклідової симетрії. Два неевклідових відрізки називають рівними, якщо один з них неевклідовим рухом можна перевести в другій.
Властивості неевклідових рухів.- Суперпозиція неевклідових рухів є знову неевклидова рух. Це випливає безпосередньо з визначення неевклидова руху.
- При неевклідових рухах образами неевклідових відрізків, прямих, променів і кутів є відповідно неевклидова відрізки, прямі, промені і кути. Це властивість випливає з властивостей інверсії і властивостей евклідової осьової симетрії. Необхідно відзначити, що неевклидова кути, перетворюються один в одного неевклідовим рухом, рівні в змісті наведеного раніше визначення, і їх величини (в Евклідовому сенсі) є рівними.
- Якщо неевклидова рух переводить неевклідов промінь в себе, то або це тотожне перетворення, або неевклидова осьова симетрія щодо неевклідової прямої, що містить даний промінь. В обох випадках все точки цієї прямої для даного перетворення і без листя. Це властивість дається без доведення.
Вище дана реалізація всіх основних понять аксіоматики планіметрії Лобачевського через поняття геометрії Евкліда. Тепер необхідно перевірити справедливість наведених вище аксіом.
З групи аксіом I очевидна справедливість аксіом I.1, I.2, I.4.
Аксіома I.3.Нехай дано точки A і B.
2
малюнок 15.2.2-
3
Малюнок 15.2.3 Пряма (евклидова) AB НЕ перпендикулярна до абсолюту (рис. 15.2.2). Тоді серединний перпендикуляр p відрізка AB перетинає абсолют в деякій точці O. Так як з побудови OA = OB, то півколо окружності S з центром в точці O і радіусом OA, що лежить вище абсолюту, є неевклідової прямої, що містить точки A і B. Ця пряма (неевклидова) єдина, так як на абсолюті є лише одна точка, рівновіддалена від точок A і B, - це точка O. - Пряма (евклидова) AB перпендикулярна абсолюту (рис. 15.2.3). Тоді її частина, що лежить вище абсолюту, буде неевклідової прямої, що проходить через точки A і B, оскільки p || x.
Так як кожен неевклідов відрізок AB вдає із себе або евклидов відрізок (якщо пряма AB перпендикулярна абсолюту), або дугу окружності, то в першому випадку аксіома виконана очевидно.
Для аналізу другого випадку допустимо, що AB є шуканий неевклідов відрізок. Розглянемо інверсію i щодо кола S з центром в точці O, перетину неевклідової прямий AB і абсолюту і радіусом R, рівним OA> OB (рис. 15.2.4). При цьому чином невклідовой прямий AB буде промінь 
де 
, А чином неевклидова відрізка - відрізок 
евклидова променя 
тут 
- друга точка перетину неевклідової прямий AB і абсолюту. Так як 
є образом відрізка AB при неевклідовий русі, то вони рівні за визначенням і, отже, мають рівні довжини. Так як аксіома виконана для евклидова відрізка 
, То вона виконана і для неевклидова відрізка AB.
4
Малюнок 15.2.4 Аксіома II.2.Можливі кілька випадків.
- Нехай неевклідов промінь представляє з себе промінь евклідової прямий, який не має точки перетину з абсолютом (рис. 15.2.5). Тоді виконання аксіоми випливає з її справедливості для евклидова променя.
Нехай неевклідов промінь представляє з себе частину евклідової прямий, перпендикулярної абсолюту і обмеженою початком A променя (включаючи точку A) і точкою O, що лежить на абсолюті (рис. 15.2.6).
5
малюнок 15.2.5
6
малюнок 15.2.6Зробимо перетворення інверсії щодо кола S з центром в точці O і радіусом OA. За властивостями інверсії відрізок OA перетворюється в промінь евклідової прямий OA з початком в точці A. Відповідно до аксіомою II.2 на отриманому промені від його початку можна відкласти відрізок заданої довжини і тільки один. Нехай B - кінець цього відрізка. Тоді її прообразом при інверсії i є деяка точка
шуканого евклидова променя. Так як відрізок 
перекладається в відрізок AB неевклідовим рухом, то вони рівні і рівні їх довжини. Це завершує доказ. Неевклідов промінь - дуга AO півкола, що містить точку A - початок променя, і не містить точку O, точку перетину півкола з абсолютом (рис. 15.2.7). Як і в разі розгляду аксіоми II.1, зробимо перетворення інверсії i щодо кола S з центром в точці O і радіусом AO. Чином неевклидова променя AO буде промінь евклідової прямий, перпендикулярної абсолюту. На цьому промені можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один. Нехай B - кінець цього відрізка. Далі обгрунтування дослівно повторює обґрунтування, наведене в попередньому пункті.
7
малюнок 15.2.7
8
малюнок 15.2.8Аксіома безперервності III для неевклідових відрізків зводиться до випадку евклідових відрізків проектуванням на абсолют (рис. 15.2.8) або перетворенням неевклидова відрізка в відрізок евклідової прямий, перпендикулярної абсолюту, за допомогою інверсії, описаної при доказі справедливості аксіоми II.1. У моделі Пуанкаре виконується аксіома IV.1. Неевклідові полуплоскости зображені на рис. 15.2.9. Неевклідов відрізок, що з'єднує дві точки неевклідової півплощині, не перетинає її кордони. Дійсно, припустивши противне, ми прийшли б до того, що евклідові окружності перетиналися б в чотирьох точках (рис. 15.2.10), що неможливо.
9
малюнок 15.2.9
10
Малюнок 15.2.10 Аксіома IV.2.Можливі реалізації кутів в моделі Пуанкаре для неевклідових кутів показані на рис. 15.2.11.
11
малюнок 15.2.11
12
малюнок 15.2.12З малюнка видно, що неевклідової кутами є кут між пересічними колами, а також між колом і перетинає її прямий. Відповідно до визначення, даного в розділі 13, кут між пересічними колами це - кут між дотичними до них прямими, проведеними в точці перетину, а кут між окружністю і перетинає її прямий - це кут між дотичною до кола в точці перетину і прямий.
Таким чином величини неевклідових кутів визначаються через величини відповідних евклідових кутів. Звідси досить очевидна справедливість аксіоми IV.2.
Аксіома IV.3.- Нехай неевклідовим променем є промінь (або частина променя) евклідової прямий, перпендикулярної абсолюту (рис. 15.2.12). Відповідно до аксіомою IV.3 відкладемо від променя в дану напівплощина евклидов кут із заданою градусною мірою. Це можна зробити і єдиним чином. Нехай p - інша сторона цього кута. Через вершину променя проведемо пряму q, перпендикулярну до променя p до перетину з абсолютом в точці O. Така точка існує і єдина. Проведемо півколо з центром в точці O і радіусом OA. Така окружність існує і єдина. В силу визначення та побудови кут між шуканим неевклідовим променем і побудованої окружністю має дану градусну міру.
Нехай неевклідовим променем з вершиною A є частина AB півкола (рис. 15.2.13) з центром в точці O на абсолюті.
13
малюнок 15.2.13Проведемо дотичну p до півкола в точці A і відкладемо від променя AC кут, рівний даному, в напівплощина, що не містить дану півколо. Нехай q - друга сторона кута. Відновимо перпендикуляр до променя q в точці A. Якщо цей перпендикуляр перетинає абсолют в точці H, то, побудувавши півколо з центром в точці H і радіусом, рівним AH, отримаємо дві пересічні в точці A півкола, кут між якими дорівнює α з побудови. Якщо ж перпендикуляр не перетинає абсолют, т. Е. Він паралельний абсолюту або, що те ж саме, промінь q перпендикулярний x, то другою стороною неевклидова променя є шуканий евклидов промінь q. Единственность такого кута випливає з справедливості аксіоми для евклідової площини.
Перевірку аксіоми IV.4 проведемо тільки для випадку, коли даний неевклідов промінь є частина півкола.
Відповідно до аксіомами II.2 і IV.3 відкладемо від вершини A даного променя відрізок 
рівний цьому боці 
трикутника 
. Крім того, відкладемо від даного променя в дану напівплощина кут, рівний куту A1 трикутника 
. На промені, що задає другу сторону відкладеного кута, відкладемо від точки A відрізок 
рівний стороні 
вихідного трикутника. Покажемо, що отриманий трикутник 
дорівнює трикутнику 
Так як з побудови 
дорівнює 
, Існує неевклидова рух f, що переводить відрізок 
в AB так, що 
При неевклідовий перетворенні кути зберігаються, тому або точка 
виявиться на промені 
, Або його можна поєднати з точкою цього променя додаткової осьової симетрією щодо променя 
. При цьому по властивості 3 відрізок 
перейде в себе і 
В силу властивості 1 перетворення 
також буде неевклідовим рухом. Покажемо, що точка C3 співпаде з C2. Дійсно, якби це було не так, то виявилося б, що на промені AC 2 відкладені два різних відрізка даної довжини, що суперечить аксіомі II.2. Отже, існує неевклидова рух, яке переводить даний трикутник 
в трикутник 
, Що завершує доказ.
Затвердження аксіоми паралельності Лобачевского виконується не тільки для деякої прямої a і деякої точки A, що не лежить на a, але і для будь-якої неевклідової прямий a і будь-який не лежачої на ній точки A (рис. 15.2.14).
14
малюнок 15.2.14Наведене вище розгляд дозволяє зробити висновок про несуперечності геометрії Лобачевського і обгрунтувати незалежність аксіоми паралельності від інших аксіом груп I-IV з тим ступенем строгості, звичайно, з якої була побудована і обгрунтована модель Пуанкаре в даному викладі.
Використовуючи модель Пуанкаре, можна вивчити властивості площині Лобачевського. На площині Лобачевського L 'через кожну точку A, що не лежить на прямій a, проходить безліч прямих, що не перетинають пряму a (рис. 15.2.15).
15
малюнок 15.2.15
16
малюнок 15.2.16Всі ці прямі заповнюють два вертикальних кута, обмежених прямими p і q. Граничні прямі p і q, які не перетинають пряму a, називаються на площині Лобачевського паралельними прямий a і проходять через A. Кожному напрямку на прямій a відповідає своя паралельна пряма, що проходить через A.
Характерною властивістю паралельних прямих на площині Лобачевського є те, що вони необмежено зближуються в напрямку паралельності і необмежено розходяться в протилежному напрямку (рис. 15.2.16).
Ті прямі на площині Лобачевського, які і не перетинаються, і не паралельні, називаються що розходяться. Характерна властивість розходяться прямих - наявність у них єдиного перпендикуляра.
У моделі Пуанкаре паралельні прямі зображуються півкола і променями, що стосуються на абсолюті (рис. 15.2.17, а).
17
малюнок 15.2.17 На площині Лобачевського кути і довжини пов'язані іншими залежностями, ніж на площині Евкліда. Одне з характерних властивостей площині L виражається функцією Лобачевського 
.
З деякою точки O прямий a проводиться промінь 
(Рис. 15.2.18). нехай 
- довільна точка, а x - довжина відрізка OX. визначимо 
як величину гострого кута між відрізком OX і прямий, паралельної прямої a і проходить через точку X. Тоді властивість можна сформулювати так.
При зростанні x від нуля до нескінченності функція 
безперервно зменшується від 90 ° до 0 °.
18
малюнок 15.2.18Існування таких залежностей між довжинами відрізків і кутами означає, що на площині Лобачевського немає подібних фігур.
Наприклад, на площині Лобачевського справедливий ознака рівності трикутників: якщо кути одного трикутника відповідно рівні кутах іншого трикутника, то такі трикутники рівні. Сума кутів трикутника на площині Лобачевського менше 180 °. Різниця між 180 ° і сумою кутів трикутника називається надлишком трикутника. Виявляється, що на площині Лобачевського площа трикутника пропорційна його надлишку. Отже, на площині Лобачевського площі трикутників обмежені деякою постійною. Величини кутів на площині Лобачевського в моделі Пуанкаре рівні величинам відповідних кутів на евклідової площини. Тому всі перераховані властивості кутів площині L можна побачити на моделі Пуанкаре.
Для ілюстрації аксіоми про паралельність прямих розглянемо наступну схему. Маючи пряму a і точку A поза нею, з'єднуємо A з точкою P, що лежить на a, і відсуває точку P в положення P ', P' ', ... і все далі, і далі на a (іншими словами, представляється послідовність точок P, P ', P' ', ... або відповідно послідовність прямих AP, AP', AP '', ...). Пряма AP при цьому обертається навколо A і досягне деякого граничного положення, коли P віддалиться в нескінченність, і цю граничну пряму і треба розуміти як пряму, паралельну прямій a, що проходить через A.
При цьому немає ніяких початкових міркувань, в силу яких пряма AP повинна наближатися до одного і того ж граничного стану при видаленні P в нескінченність як в одну, так і в іншу сторону, що дає абстрактну можливість існування двох різних прямих, що проходять через A, паралельних прямий a. У зв'язку з цим постулат паралельних прямих в геометрії Евкліда - не що інше, як угода про те, що ці два граничних положення повинні збігатися, і через точку A повинна проходити тільки одна пряма, паралельна прямій a. На прикладі геометрії Лобачевського було показано, що допущення про розбіжності граничних прямих, а саме заперечення аксіоми про єдиності прямої, що проходить через точку A, не привело до протиріччя, а навпаки, призвело до побудови нової неевклідової геометрії. Однак поряд з геометрією Лобачевського існує ще один вид неевклідової геометрії, яку корисно згадати.
