Наукова електронна бібліотека

1.1. Історія математики як історія розвитку уявлень про специфіку математичного експерименту

Багато математичні результати, як на зорі розвитку математики, так і на протязі всієї історії її розвитку, аж до сьогоднішніх днів були отримані за допомогою експериментів і індуктивних міркувань, лише пізніше вони були доведені дедуктивно. Правда, прямих свідчень цьому мало. У всі часи вчені не люблять розповідати про процес своєї творчості, показувати, як створювалися ті чи інші математичні теорії, шляхом яких припущень, перевірок, відбракування помилкових припущень приходили вони до своїх висновків. Публікуються тільки кінцеві результати. Серед математиків, напевно, тільки Л. Ейлер писав про процес своєї творчості. Цим і унікальні його роботи.

Розглянемо більш докладно як на основі експериментів, спостережень, здогадів формулювалися математичні результати, і почнемо з давніх-давен.

1.1.1. Давність. Натурні експерименти в математиці

Математичні знання існували в багатьох стародавніх землевладельческих державах, однак відновити рівень знань, який в них існував, можна лише за збереженими документами, знайденими при археологічних розкопках. Далеко не завжди документи зберігалися, і тому більш-менш докладні дані ми маємо лише про математику Стародавнього Єгипту і Стародавнього Вавилона. Вавилоняни вміли правильно обчислювати площі прямокутників, трикутників, трапецій, обсяги куба, паралелепіпеда, призми, піраміди. Однак ми не знайдемо у них самого звичного нам елемента математики - докази. Правила обчислення, по всій видимості, виникали як емпіричні співвідношення в результаті численних вимірів, потім заучували як догма і передавалися від одного покоління переписувачів до іншого. Порукою істинності тверджень також служила вікова практика їх використання. При цьому не розділялися точні і наближені формули, при цьому наближена формула повинна була задовольняти практичним вимогам.

Характерним прикладом служить використовувалося ще в стародавньому Єгипті правило для обчислення площі довільного чотирикутника зі сторонами a, b, c, d. Єгиптяни вважали, що площа чотирикутника дорівнює добутку напівсумі пар протилежних сторін, тобто

Ця формула дає точні результати лише для прямокутників, в інших випадках результат наближений, і можна навести приклади чотирикутників, для яких її похибка як завгодно велика. Так, наприклад, площа ромба з гострим кутом. Чим менше гострий кут, тим більше похибка. Однак на практиці ця формула застосовувалася в Єгипті для розрахунку площі земельних ділянок, форма яких зазвичай була близька до прямокутника, а в цьому випадку формула давала достатню точність. Усвідомлювали древні землеміри, що формула є наближеною, цього ми не знаємо.

На основі натурних експериментів єгипетським математикам вдалося вирішити й іншу, набагато більш важке завдання. Вони знайшли спосіб, хоч і наближений, обчислення площі кола по діаметру (діаметру): за їхніми правилами площа кола вважалася рівною площі такого квадрата, сторона якого є діаметра кола. В даному випадку п? 3,16. Правило було отримано, швидше за все, емпірично. Його походження намагалися пояснити по-різному, але майже всі гіпотези непереконливі. Одна з найбільш правдоподібних гіпотез описана в книзі А.Є. РАІК [73].

Спочатку впишемо коло в квадрат зі стороною 1. Виріжемо з цього квадрата чотири квадратика зі стороною . Площа решти дорівнює але вона ще явно більше площі кола. Виріжемо ще вісім квадратиків зі стороною . Їх площа дорівнює а площа решти дорівнює
Можливо, що єгиптяни робили саме так, і вирішили, що площа решти дорівнює площі кола [72, с. 14].

У Стародавньому Вавилоні площа кола перебувала за формулою де S - площа кола; L - довжина кола. Логіка міркувань вчених, яка призвела до отримання цієї формули, поки не відтворена.

Найдивовижніше, що єгиптяни і вавилоняни вміли знаходити обсяг піраміди, а єгиптяни навіть обсяг усіченої піраміди з квадратними підставами. Точний висновок формул вимагає знань, якими єгиптяни і вавилоняни напевно не мали, оскільки для знаходження об'єму усіченої піраміди було потрібно застосування граничного переходу.

Обсяг піраміди, взагалі кажучи, не можна знайти шляхом розрізання куба. Це можна зробити лише для деяких пірамід. Наприклад, в вавилонських глиняних табличках обчислюється лише обсяг піраміди, кут між підставою (квадратним) і бічними гранями якої дорівнює 45 °, а куб можна розрізати на шість таких пірамід, взявши в якості їх загальної вершини центр куба, а в якості підстав - його межі . Так надходили при знаходженні правила для обчислення обсягу піраміди і єгиптяни. І хоча цей висновок годиться не для всіх пірамід, єгиптяни спокійно користувалися цим правилом для будь-якої піраміди [72].

1.1.2. Стародавня Греція. Уявний експеримент у формі механічних інтерпретацій

Важливий крок у розвитку наукових уявлень про експериментальні методи в математики був зроблений Архімедом. Їм були знайдені площі кола і параболічних сегментів, обсяги кулі, еліпсоїда, сегментів кулі. У творах Архімеда всі знайдені їм залежності для площ і обсягів доводяться строго геометрично, Наприклад, методом вичерпування, по Евдоксу доводиться, що різниця між обсягом кулі і величиною може бути зроблена як завгодно малою, але звідки береться сама величина - не пояснюється. І оскільки Архімед знайшов не тільки об'єм кулі, але і обсяги багатьох інших тіл (а також площі цілого ряду фігур), то ясно, що Архімед володів способом, що дозволяє знаходити (а не тільки доводити) формули для площ і обсягів. Але в чому полягав цей спосіб, довгий час залишалося неясним. І лише в 20 столітті (1908 рік) була знайдена рукопис Архімеда «Послання до Ератосфену». Це була робота про механічне
методі рішення геометричних задач. У ній наводяться наступні евристичні міркування.

Нехай, наприклад, необхідно знайти об'єм кулі. Одночасно з кулею будують конус і циліндр, радіуси підстав і висоти яких, рівні діаметру кулі (рис. 1). Через всі ці тіла проводять розтин, паралельне підстав, на деякому довільному фіксованому відстані від підстав.

АК2 = ОК2 + ОА2 = ОК2 + OL2.

У той же час АК2 = АВ · ОА, що дозволяє зробити висновок про те, що

ОК2 + OL2 = АВ · ОА.

Таке ж співвідношення між величинами, пропорційними складовою

п * АВ2 · ОА = п * ОК2 · АВ + п * OL2 · AB.

Так виходить співвідношення між горизонтальними перетинами кулі, циліндра і конуса.

Цьому співвідношенню Архімед дає механічну інтерпретацію, засновану на правилі важеля, або, що те ж саме, двуплечних ваг. Іншими словами, якщо прийняти точку А за точку опори важеля, то елемент циліндра, закріплений в точці О, врівноважить елементи кулі і конуса, закріплені в Т (AT = AB). Переходячи до обсягів тел як до сум всіх довільних перетинів, паралельних один одному, він отримує

звідси

Але так як , то

або

Той же спосіб механічної аналогії Архімед застосував у творі «Про квадратуру параболи». Параболічна платівка представляється підвішеною до одного плеча неравноплечності важеля і розділеної на елементи, кожен з яких урівноважений відповідним навантаженням на іншому плечі [76].

Мал. 1. Обчислення обсягу кулі

Відповідно до наукової традицією свого часу Архімед перекладав докази, отримані методом механічної аналогії, на загальноприйнята мова методу вичерпання з обов'язковим завершенням останнього в кожному окремому випадку доказом від противного.

Разом з тим Архімед продовжував широко використовувати для отримання співвідношень і натурні експерименти. Так, наприклад, він дуже ясно і зрозуміло описав, як виміряти кутові розміри Сонця [54, с. 23]. Він визначив видимий діаметр Сонця, як укладений між 1/200 і 1/164 частками прямого кута (або між 27 і 35 хвилинами, в дійсності 32 хвилини).

«Зміцнивши довгу лінійку на вертикальній підставці, розташованої в місці, звідки видно схід Сонця, поставимо на лінійку вертикально невеликий точений циліндр. Коли Сонце близько до горизонту і на нього можна дивитися, лінійка повертається в бік Сонця і очей розташовується на краю лінійки. При цьому циліндр, перебуваючи між Сонцем і оком, закриває всі Сонце. Потім поступово переміщують циліндр від ока, поки Сонце не почне злегка показуватися з усіх боків циліндра; на цьому місці циліндр закріплюється »[55, с. 13-14].

Подібним чином міркував і Ератосфен при визначенні розмірів Землі. Ератосфен жив в Олександрії в III столітті до н.е. Південніше Олександрії на березі Нілу лежить місто Сієна. У день літнього сонцестояння - найдовший день року - в Сієні сонце заглядає на дно найглибших колодязів, а в Олександрії в цей день дно колодязів залишається в тіні. Там сонячні промені падають на А земля не прямовисно, як в Сієні, а під кутом і висвітлюють тільки стінку колодязя. Ератосфен виміряв кут між напрямком сонячного променя і стінкою колодязя. Виявилося, що цей кут дорівнює розгорнутого кута. Ймовірно, Ератосфен міркував так: сонячні промені всюди паралельні, а колодязі завжди копають по схилу. Сонце може по-різному висвітлювати колодязі в Сієні і Олександрії тільки тому, що Земля не плоска. Швидше за все, вона кругла, як куля. Але раз кут між Сонячним променем і схилом в Олександрії дорівнює розгорнутого кута, то відстань між Олександрією і Сієною в 25 разів менше довжини меридіана, що з'єднує полюси земної кулі. Відстань від Олександрії до Сієни було приблизно відомо. Помноживши його на 25, Ератосфен визначив довжину меридіана. Помилка, зроблена Ератосфеном, була зовсім невелика, особливо якщо враховувати, як неточні були в той час вимірювання відстаней і кутів [39, с. 149.].

1.1.3. Чисельні експерименти в працях піфагорійців

Піфагорійці зіставили три послідовності чисел:

1) натуральний ряд;

2) квадрати чисел натурального ряду;

3) різниці послідовних квадратів:

1)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

.

.

.

2)

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

121

144

169

196

.

.

.

3)

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

.

.

.

Спостереження виявило наступний факт: коли число третьої послідовності квадратне, то воно в сумі з стоячою над ним квадратним числом дає квадратне число, що стоїть у другій послідовності на наступному справа місці:

9 + 16 = 25; 25 + 144 = 169 або 32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132.

Цей факт можна довести і в загальному вигляді.

Також на основі численних обчислень були вивчені властивості деяких груп натуральних чисел, які отримали назву «Трикутники Тартальи».

1) 1 + 2 = 3

4 + 5 + 6 = 7 + 8

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2) 32 + 42 = 52

102 + 112 + 122 = 132 + 142

212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272

362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442

552 + 562 + 572 + 582 + 592 + 602 = 612 + 622 + 632 + 642 + 652

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3) Існує ще такий «числовий трикутник»:

13 = 1

23 = 3 + 5

33 = 7 + 9 + 11

43 = 13 + 15 + 17 + 19

53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . [38, с. 182-183].

1.1.4. Математика в Західній Європі до XVI-XVII століть. Народження методології прикладної математики

Вчені Західної Європи XVI-XVII століть - це, перш за все, інженери, винахідники, астрономи, філософи. До математичним завданням їх штовхала потреба вирішити вставали перед ними практичні проблеми, які вони вирішували в тісному контакті з майстрами та ремісниками того часу. Рішення практичних завдань відкривало нові математичні об'єкти, які ставали предметом подальшого вивчення, в свою чергу, стимулюючи теоретичну думку.

Розглянемо характерний приклад, пов'язаний з роботами Християна Гюйгенса (1629-1695). Початком послужила одна з найважливіших практичних завдань XVII століття - удосконалення маятникових годин. Було помічено, що період коливань простого кругового маятника залежить від розмаху і не дозволяє йому бути точним вимірником часу. А між тим, саме в цей час точний годинник були дуже потрібні,
перш за все, для цілей навігації. Широту в XVII столітті вже вміли визначати досить точно, вимірюючи висоту над горизонтом небесних світил. Теоретично довготу будь-якого місця в ході плавання можна визначати шляхом порівняння місцевого часу, визначеного за кульмінації Сонця або зірок, з часом пункту відправлення, якщо тільки цей час досить точно зберігають хороший годинник. У якість годин довгий час все і впиралося: звичайні маятниковий годинник, в яких центр ваги маятника рухається по колу, потрібної точності не забезпечували, особливо в умовах качки корабля. Краще за інших це розумів Християн Гюйгенс, який з'єднав в своїй особі талант винахідника, видатного годинникового майстра з талантом математика. Гюйгенс припустив та розробив кілька дотепних конструкцій маятникових годин, що підвищують точність, і він же зауважив, що головною перешкодою до подальшого збільшення точності служить принципова властивість звичайного маятника - залежність періоду коливань від їх амплітуди. На хитному кораблі не вдавалося зберегти постійну амплітуду коливань, і годинник неминуче втрачали точність. Гюйгенс поставив цікаву задачу: «З якої кривої (замість окружності) повинен рухатися центр ваги маятника для того, щоб період коливань не залежав від амплітуди?» Гюйгенс знайшов цю криву за допомогою дивно дотепних міркувань, наведених в його трактаті «Маятниковий годинник», опублікованому в 1673 році. Шукана крива виявилася циклоїдою - кривий, яку описує закріплена точка окружності, що котиться по прямій без ковзання. Зауважимо, що Гюйгенс вельми жваво і дотепно визначав циклоиду: це та крива, «яку описує в повітрі цвях, вбитий в обід колеса, при його коченні». Якраз незадовго до цього, в роботах учнів Галілея Вівіані і Торрічеллі ця крива була вперше описана, назва «циклоїда» було придумано самим Галілеєм. Однак, як змусити центр ваги маятника рухатися точно по циклоїді? Гюйгенс знайшов оригінальне рішення: Нехай нитка підвісу маятника коливається між двох «щік», вигнутих по кривим - еволюта циклоїди. Для того, щоб правильно зігнути «щоки», потрібно було знайти ці криві - еволюти циклоїди. Гюйгенс знайшов їх, створивши по шляху теорію еволют і евольвент. Ця теорія дозволила Гюйгенсу побудувати годинник, в яких центр ваги маятника рухався по циклоїді, в результаті чого період коливань перестав залежати від амплітуди. Робота Гюйгенса показала з особливою наочністю користь з'єднання математики та практики, плідність застосування математичних методів і теорем вирішення конкретних технічних завдань [70, с. 45-47].

Метод «неподільних» І. Кеплера. У 1613 році І. Кеплер одружився. Коли він купував вино для весілля, він був здивований тим, як продавець визначав місткість бочки. Продавець брав палицю, на якій були нанесені поділки, і з її допомогою дізнавався відстань від отвору для заливання води до найдальшої точки бочки - краю днища. Проробивши це один вимір, він відразу ж говорив, скільки літрів вина в даній бочці.

Кеплера зацікавило, наскільки точно торговець визначив обсяг бочки за допомогою всього одного виміру. Так учений першим звернув увагу на клас задач, дослідження яких призвело до створення інтегрального числення. Спочатку Кеплер знайшов формулу для обчислення обсягу бочки, а потім і інших тіл обертання (всього для 92 тіл обертання), яким він дав назви «лимон», «яблуко», «груша», «айва», «зливу», «суниця» і т.п. Для знаходження обсягів цих неправильних тел вчений застосовував метод вичерпання, розбиваючи тіло на безліч елементарних частин і заповнюючи його фігурами, обсяги яких піддавалися обчисленню.

Так, для знаходження об'єму тора Кеплер розбив його меридиального перетинами на нескінченну кількість гуртків, товщина яких з зовнішнього боку дещо більше, ніж з внутрішньої. Обсяг такого гуртка дорівнює обсягу циліндра з основою, рівним перетину тора, і висотою, рівній висоті гуртка в його середній частині. Звідси відразу виходить, що обсяг тора дорівнює обсягу циліндра, у якого площа підстави дорівнює площі перетину тора, а висота дорівнює довжині кола, яку описує точка - центр кола, що утворює тор [54, с. 63].

1.1.5. Чисельні експерименти і питання адитивної арифметики

Аддитивна арифметика - це область арифметики, яка в основному займається питаннями про подання цілих чисел у вигляді суми цілих чисел наперед заданого виду. Багато теорем цієї арифметики були сформульовані на основі розгляду різних окремих випадків.

Проблема Варингу. Ще у Діофанта виникла ідея про подання натуральних чисел сумами квадратів натуральних же чисел, зокрема, про подання сумою не більше чотирьох квадратів. Клод Гаспар Баше (1 625) перевірив це положення для всіх чисел, що не перевищують 325. У 1636 році П. Ферма заявляє, що має доведення цієї теореми, але у 1659 році повідомляє про труднощі її докази. Доказ теореми, що будь-яке натуральне число є сума не більше чотирьох квадратів натуральних же чисел, було дано Л. Ейлером в 1751 році і уточнено Ж. Лагранжем в 1772 році із зазначенням про використання ним ідеї докази Л. Ейлера. Дуже багато математики займалися в подальшому родинними цієї теореми питаннями (Е. Варінг, Д. Гільберт, І.М. Виноградов, Ю.В. Линник).

Проблема Гольдбаха. Християн Гольдбах (1690-1764) в 1742 році в листі до Л. Ейлера про різні недоведених математичних пропозиціях, які підтверджуються перевіркою, згадує і про пропозицію, що будь-яке число є сума трьох простих чисел, зараховуючи до простих чисел одиницю. Л. Ейлер відповідає: «Пропозиція про те, що будь-яке парне число є сума двох простих чисел, я вважаю справжньою теоремою, хоча я і не в змозі її довести». Л. Ейлер вказує, що якщо ця теорема доведена, то з неї випливає, що будь-яке непарне число є сума трьох простих чисел.

Накопичився величезний емпіричний матеріал, що підтверджує висловлену Х. Гольдбаху припущення. З тих пір як Х. Гольдбах висунув цю гіпотезу, математики не сумнівалися, що вона, як і Велика теорема Ферма, вірна. Проте, на відміну від теореми Ферма, ніхто ніколи не претендував на те, що зумів її довести. До вирішення цієї проблеми існує підхід «в лоб» - надовго запустити комп'ютерну програму, яка б послідовно перевіряла це твердження на все більших і більших парних числах. Таким способом можна було б спростувати теорему, будь вона неправильна. Але неможливо і довести, оскільки ніколи не можна гарантувати, що чергове число, що перевіряється програмою, не опиниться першим виключенням з правила. Насправді ми знаємо, що гіпотеза Гольдбаха вірна, по крайней мере, для всіх парних чисел, що не перевищують 100 000. У 30-і роки XX століття група російських математиків встановила, що існує таке кінцеве n, що будь-яке парне число може бути представлено в вигляді суми не більше ніж n простих доданків, а також що гіпотеза Гольдбаха вірна для великого класу парних чисел. Однак доказ теореми до цих пір не знайдено [38, с. 174-175].

1.1.6. Чисельні експерименти як основа створення генераторів простих чисел

Прості числа так химерно розташовані в натуральному ряду, що у математиків не було надії вивести формулу, яка давала б всі такі числа і ніякі інші. Тому спробували досягти більш легкої мети - знайти формулу, підставляючи в яку замість n одне за іншим натуральні числа, отримувати кожен раз просте число. Одну з перших таких формул запропонував П. Ферма. Вона мала вигляд: Але в даному випадку інтуїція підвела вченого. При n = 0, 1, 2, 3, 4 дійсно виходять прості числа, але значення n = 5 він не перевіряв, інакше він виявив би, що число 232 + 1 = 4294967297 ділиться на 641. Не вдалися спроби записати бажану формулу і в вигляді многочлена. Л. Ейлер встановив, що многочлен f (n) = n2 - n + 41 приймає прості значення для всіх n = 0, 1, 2, ..., 40. Але f (41) = 412 - 41 + 41 - складене число. Ще більше простих чисел дає многочлен g (n) = n2 - 79n + 1601 - вони виходять при всіх цілих n від 0 до 79. Але при n = 80 отримуємо складене число. Невідомо, нескінченно чи безліч простих значень многочленів f (n) і g (n).

Надалі спроби відшукати формулу для простих чисел у вигляді многочленів були залишені в зв'язку з результатами Л. Ейлера і Х. Гольдбаха [27, с. 33].

1.1.7. Статистичні експерименти в дозволі парадоксів теорії ймовірностей

Розповідають, що одного разу до Галілею звернувся один гравець з проханням роз'яснити йому незрозуміле явище: чому при киданні трьох гральних кісток сума 10 випадає частіше, ніж 9? Це здається дивним, адже сума 10, так само як і сума 9, випадає в шести комбінаціях:

10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4;

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3.

Галілей роз'яснив цей парадокс в роботі «Про вихід очок при грі в кості». Виявляється, не всі перераховані комбінації рівноможливими. Робота Галілея була опублікована в 1718 році.

До цього Ж. Мері звертався до Б. Паскалю з такими завданнями:

- чому при киданні трьох кісток частіше випадає сума, рівна 11, ніж 12?

- підтвердити спостереження, що ймовірність випадання хоча б однієї шістки при чотирьох киданнях гральної кістки більше 1/2;

- скільки разів треба підкинути дві гральні кістки, щоб число випадків, що сприяють випаданню хоча б один раз двох шісток відразу, було більше, ніж випадків, коли ні при одному киданні не народжуються дві шістки одночасно? [99, с. 164-166].

1.1.8. Математика XVIII століття. Експерименти з нескінченністю

Математики XVIII століття - це, перш за все математики-прикладники. Всі вони багато працювали над вирішенням прикладних задач, і їх теоретичні роботи виникали на основі узагальнення цих рішень. Тісний зв'язок з практикою впливала на стиль і характер викладу математичних робіт того часу. Першорядне увагу приділялося строгості викладу, а отримання нових результатів.

Л. Ейлер досить вільно поводився з нескінченними величинами і рядами, його методи були далекі від сучасних вимог до строгості, і, тим не менше, остаточні висновки Л. Ейлера були, безумовно, вірні.

Іноді кажуть, що «від помилок Ейлера оберігала інтуїція». Самі по собі ці слова вірні. Треба лише уточнити, що мова йде не про інтуїцію як про якийсь природжений якості, властивому Ейлера від природи. Інтуїція Ейлера - це результат величезної кількості виконаних їм реальних розрахунків і всебічних перевірок, яким піддавалися результати цих розрахунків. Розглянемо для ілюстрації одну роботу Л. Ейлера. Вона представить шлях, на якому Л. Ейлер та інші математики XVIII століття досягали правильних результатів.

Ще Я. Бернуллі поставив завдання про обчислення суми ряду зворотних квадратів:

(1)

Однак завдання виявилося важким, і самим Я. Бернуллі не була вирішена. Для її вирішення Л. Ейлер використовував новий метод, заснований на сміливому граничному переході від кінцевих полиномов до нескінченних статечним рядах.

Сучасникам Ейлера було добре відомо, що якщо поліном ступеня 2n має вигляд

і має 2n різних коренів:

№ 1; - № 1; ? 2; -? 2; ...; ? N; -? N,

то його можна представити у вигляді:

при цьому коефіцієнт:

(2)

Л. Ейлер розглядає функцію як «поліном нескінченної ступеня», що має нескінченне число коренів: 0; ?; - ?; 2 ?; -2? ... і т.д.

Далі Ейлер переходить до полиному має коріння: ± ?; ± 2 ?; ...; ± n ?, і за аналогією з кінцевими полиномами робить висновок, що

(3)

тоді з урахуванням рівності (2) маємо:

звідки і слід

(4)

Л. Ейлер сам розумів, що його висновок про суму ряду (1) «зухвало». Перенесення властивостей кінцевих полиномов на нескінченні статечні ряди міг привести і до помилки, тому Ейлер вважав за потрібне багаторазово перевірити свій метод і свій результат. Ось які були перевірки, виконані Ейлером.

1. Л. Ейлер обчислив суму (1) наближено, з точністю до шостого знака і знайшов повний збіг у всіх знаках.

2. Користуючись тим же методом дослідження, але, порівнюючи коефіцієнти при х2 в рівність (3), Л. Ейлер знайшов суму ряду ,
і знову, обчислюючи наближено цю суму прямим підрахунком, знайшов повний збіг до шостого знака.

3. Застосовуючи той же метод переходу від кінцевого полінома до нескінченного ряду для функції має подвійні коріння, Л. Ейлер знайшов суму ряду що збіглося з уже відомим результатом Г. Лейбніца. «Для нашого методу, - писав про цей збіг Л. Ейлер, - який декому може здатися недостатньо надійним, тут виявляється велике підтвердження. Тому ми взагалі не повинні сумніватися в інших результатах, виведених тим же методом ».

І все ж Л. Ейлер не шкодував сил для подальших перевірок свого методу.

4. Л. Ейлер іншим шляхом обчислив суму ряду (1) і знову знайшов, що . Збіг результатів, отриманих двома різними методами, було додатковим аргументом на користь їх правильності.

5. Данило Бернуллі (1700-1782) обговорюючи результат Л. Ейлера, звернув увагу, що Л. Ейлером не доведене відсутність комплексних коренів в рівнянні sinx = 0, наявність яких поставило б під сумнів рівність (4). У відповідь на ці сумніви Ейлер додатково довів, що рівняння sinx = 0 не може мати комплексних коренів.

Легко переконатися, що всі перевірки, виконані Л. Ейлером, не абсолютні, наприклад, ясно, що з збігу перших шести десяткових знаків суми ряду (1) і числа ще не слід з абсолютною достовірністю, що співпадуть і всі інші знаки. Такі ж зауваження можна висловити і з приводу інших п'яти перевірок. Але в цілому перевірки, виконані Л. Ейлером, забезпечували (за висловом А. Н. Крилова) «ту розумну строгість, яка, позбавляючи від помилок, повідомляє непорушність висновків».

Перевірки, пророблені Л. Ейлером, для підкріплення достовірності обчислення суми (1) з особливою ясністю виявляють характерну рису математики XVIII століття - переважання прикладної математики і її методів. Ретельні і багатосторонні перевірки - характерна риса прикладної математики (прикладної математикою ми називаємо рішення задач фізики, техніки і т.п. математичними засобами). Природно, що в прикладній математиці перевірка остаточного результату необхідна і саме вона гарантує, що завдання виконане правильно. Приклад з сумою ряду (1) показує, наскільки глибоко проникнуть Л. Ейлер духом прикладної математики. Він застосовує її методи прямих перевірок навіть до задачі чистої математики - підсумовування ряду незважаючи на те, що будь-яка пряма перевірка відносна; вона лише підвищує ступінь достовірності результату, не гарантуючи його абсолютної істинності. Ейлер це розумів і саме тому не обмежувався однією єдиною перевіркою, він перевіряв свої результати всебічно, найрізноманітнішими методами.

Це призводить до розуміння причин того, що практично всі результати Ейлера (за найнікчемнішими винятками) виявилися справедливими [70, с. 71-75].

1.1.9. Статистичний експеримент і обчислення числа?

Французький натураліст Ж. Бюффон (1707-1788) в 1777 році опублікував оригінальний спосіб обчислення числа?, Відомий в літературі під назвою «завдання Бюффона». Істота цього способу коротко можна викласти так. Аркуш паперу (площину) розграфлена паралельними прямими, віддаленими одна від одної на відстані 2a. На нього впадає ( «навмання») голка довжини 2l (l <a). Потрібно знайти ймовірність перетину голки з будь-якої з цих прямих.

При вирішенні цього завдання позначають через x відстань від центру голки до найближчої паралелі, а кут, складений голкою з цієї паралеллю, через?. Потрібно знайти ймовірність перетину голки з будь-якої з цих прямих. Всі можливі положення голки визначаються точками прямокутника зі сторонами a і?. З рис. 2 видно, що для перетину голки з паралеллю необхідно і достатньо, щоб

xl sin.

Мал. 2. Завдання Бюффона

Із зроблених припущень слід, що шукана ймовірність дорівнює відношенню площі заштрихованої області до площі прямокутника зі сторонами a і?. Отже, ймовірність

Оскільки ймовірність p наближено (в залежності від числа бросаний голки) дорівнює відношенню числа перетинів до числа бросаний голки, то виходить наближена формула для обчислення числа?:

де n - число бросаний голки; m - число спостережуваних при цьому пересічний. Цей спосіб в подальшому перевірявся багатьма особами. Так, наприклад, Лаццаріні в 1901 році кидав гру 3408 раз і отримав значення? = 3,1415929 [18, с. 95-96].

Багато способи наближеного обчислення числа? були отримані в результаті великого числа проб. Наприклад, італійський геометр Маськероні (1750-1800) в 1779 році дав простий і практично цінний прийом наближеного випрямлення окружності з допомогою одного циркуля. Як це робиться? Описуємо коло з радіусом r = 1 (див. Рис. 3). Цим же розчином циркуля, починаючи від деякої точки окружності А робимо зарубки B, C, D. Тоді точки А, В, С, D будуть вершинами правильного шестикутника. З точок А і D, як з центрів, радіусом АС = DB проводимо дуги РЄ і ВЕ. Потім з точки В, як з центру, радіусом ВЕ проводимо дугу ЕМ, де М - точка перетину цієї дуги з основною окружністю. тоді

( «Точне» ж значення ) [18, с. 96].

1.1.10. Чисельний експеримент як основа отримання теорем геометрії

Теорема Л. Ейлера про многогранниках. Кожен багатогранник має певне число граней (Г), вершин (В) і ребер (Р). Співвідношення між ними помітив вперше Л. Ейлер в 1750 р, це були формулою:

Г + В - Р = 2. (5)

Знаючи методи роботи Ейлера (нагадаємо, що з усіх математиків Л. Ейлер писав про свої методи найбільш відверто), неважко відновити той шлях, яким Л. Ейлер прийшов до формули (5). Він почав з підрахунку числа вершин, граней і ребер у конкретних багатогранників. Експериментуючи з конкретними многогранниками, Л. Ейлер міг скласти, наприклад, таку таблицю:

багатогранники

Г

В

Р

тригранної піраміди

4

4

6

чотиригранна піраміда

5

5

8

тригранна призма

5

6

9

куб

6

8

12

октаедр

3

6

12

ікосаедр

20

12

30

додекаедр

12

20

30

Уважно розглядаючи подібні таблиці, він і помітив співвідношення (5). Від приватного експерименту до узагальнення - це звичайний шлях натураліста. Однак для математики цього мало: формула (5) повинна бути встановлена ​​не тільки для наведених в таблиці семи видів багатогранників, а й для всіх видів, а це означає, що формулу (5) потрібно довести. І Л. Ейлер представив такий доказ, удосконалив яке О. Коші в 1811 році [70, с. 142-143].

Л. Ейлер володів дивовижною здатністю відкривати нові співвідношення для натуральних чисел, вивчаючи властивості деяких перших чисел. Лише потім йому (далеко не завжди!) Вдавалося знайти строгі докази вгаданих властивостей. Так, за допомогою індукції Л. Ейлер відкрив чудове тотожність, пов'язане з сумою дільників натурального числа. Ейлер зауважив, що для будь-якого n виконується рівність

Тут числа 1, 2. 5. 7, 12, 15, 22, 26, ... поперемінно виражаються формулами и , Де k = 1, 2, ..., а знаки чергуються так, що після двох позитивних доданків йдуть два негативних. Підсумовування ведеться до тих пір, поки аргументи функції? невід'ємні; якщо останнє значення аргументу виявиться нулем, то вважається, що? (0) = n.

Ейлера не вдалося відразу знайти доказ формули, він знайшов його через рік. Сам Ейлер з приводу спостережень, які привели його до чудових відкриттів, написав наступне: «... в теорії чисел, яка все ще не досконала, наші найбільші надії ми можемо покладати на спостереження, вони безперервно будуть вести нас до нових властивостями, які пізніше ми будемо намагатися довести. Цей вид знання, яке підкріплюється тільки спостереженнями і все ще не доведено, слід ретельно відрізняти від істини; воно, як зазвичай говоримо, набувається індукцією. ... ми повинні користуватися таким відкриттям як можливістю більш точно дослідити ці відкриті властивості і довести їх або спростувати; в обох випадках ми можемо навчитися дечому корисного »[27, с. 21-22].

1.1.11. Математика XIX-XX століть. Народження комп'ютерного експерименту

Проблема чотирьох фарб - математична задача, запропонована Ф. Гутрі в 1852 році . Теорема стверджує, що на сфері досить чотирьох фарб для правильної розмальовки будь-якої можливої ​​географічної карти (тобто такий розмальовки, при якій будь-які дві країни із загальною кордоном не зафарбовані в один колір). Перший доказ було опубліковано А. Кемпе в 1879 році. Воно було визнано достатнім видатними математиками того часу, і теорема вважалася суворо доведеною більше десяти років, поки в 1890 році П. Хівудом була виявлена ​​помилковість докази А. Кемпе. З тих пір, незважаючи на численні і наполегливі спроби багатьох математиків, доведення теореми не вдавалося побудувати аж до сімдесятих років двадцятого століття, коли до пошуку були підключені швидкодіючі цифрові обчислювальні машини. Знайдене за їх допомогою доказ було опубліковано в 1976 році.

На цей раз «уявний експеримент» - математичне доказ - виявився настільки складний, що виявилася корисною і необхідною допомогу обчислювальних машин.

Теорема про «чотирьох фарбах» виявилася першою, але, безумовно, не останньою важливою теоремою, доведеною вже не тільки людиною, але і машиною, а точніше - людиною, яка вдалася до допомоги обчислювальної техніки при доказі [70, с. 149-150].

Наведені приклади з історії розвитку математичної науки показують, що до математичного рішенням і прикладних проблем, і теоретичних вчені часто приходили використовуючи експеримент з об'єктами дослідження (числовими послідовностями, рядами, аналітичними виразами, геометричними фігурами, їх реальними прототипами, моделями і т.п.) . В математиці, на відміну від природничих наук, експеримент приймав і приймає найрізноманітніші форми: натурні експерименти для отримання емпіричних співвідношень, модельні імітаційні експерименти для отримання висновків за аналогією, чисельні експерименти для отримання узагальнених висновків та ін.

Це ставить питання про зв'язок природничо експериментів і експериментів, що проводяться в математиці. Вимагає розкриття змісту поняття «математичний експеримент». У зв'язку з цим нашу точку зору ми представимо в наступному параграфі, досліджуючи специфіку комп'ютерних експериментів і методології експериментальної математики.