Лінійні рівняння і нерівності з параметром

рівняння виду

Нижче наведені приклади лінійних рівнянь:

рівняння ( 1 ) Рівносильне рівнянню

Затвердження 1.

1. Якщо a ≠ 0, то рівняння ( 1 ) Має єдине рішення x = -b / a;
2. Якщо a = 0, b ≠ 0, то безліч рішень рівняння ( 1 ) Порожньо;
3. Якщо a = 0, b = 0, то будь-яка дійсна число є рішенням рівняння ( 1 ).

Таким чином, наведені вище лінійні рівняння вирішуються наступним чином:

a) x = -6/2, тобто x = -3;
b) x = 2;
c) будь-яке дійсне число є рішенням даного рівняння;
d) рівняння не має рішень;
e) x = 0.

Зауваження 1. Рівняння

Зауваження 2. Рівняння

Приклад 1. Вирішити рівняння

Рішення. a) x = 6.

b) 2 x + 1 = 2 x + 3 И 2 x - 2 x = 3 - 1 И 0 · x = 2 звідки випливає, що рівняння не має рішень.

c) - x + 2 = 2 - x И - x + x = 2 - 2 И 0 · x = 0, отже, будь-яка дійсна число є рішенням рівняння.

Надалі будуть розглядатися лінійні рівняння з параметрами. Під параметром розуміється (дивіться тему Рівняння з параметром) фіксоване (але невідоме) число. Як правило, параметр позначається першими літерами латинського алфавіту.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення. a) Застосовуючи твердження 1 , Отримаємо:

при a ≠ 0 рівняння має єдине рішення, x = 1 / a;

при a = 0 рівняння набуде вигляду 0 · x = 1 і, отже, воно не має рішень.

Відповідь: якщо a Про R \ {0}, то x = 1 / a; якщо a = 0, то рівняння не має рішень.

b) Після елементарних перетворень отримаємо:

звідки, застосовуючи твердження 1 , Отримаємо:

1. якщо a 2-1 ≠ 0, тобто a ≠ ± 1, то або
2. якщо a = 1, то рівняння набуде вигляду 0 · x = 2 і, отже, не має рішень;
3. якщо a = -1, то рівняння набуде вигляду 0 · x = 0, і, отже, будь-яка дійсна число є вирішенням цього рівняння.

c) Перепишемо рівняння таким чином

1. якщо a - c ≠ 0, тобто a ≠ c, то рівняння має єдине рішення
2. якщо a = c і d - b ≠ 0, то рівняння набуде вигляду 0 · x = d - b (≠ 0) і, отже, воно не має рішень;
3. якщо a = c і d = b, то рівняння набуде вигляду 0 · x = 0, і, отже, безліч його рішень є R

d) Область допустимих значень (ОДЗ) рівняння є x ≠ 4. У ОДЗ рівняння вирішується таким чином:

Таким чином, якщо 2 a ≠ 4, тобто a ≠ 2, то рівняння має єдине рішення x = 2 a, а якщо a = 2, то рівняння не має рішень.

e) ОДЗ рівняння є безліч R \ {- 1; 2}. Оскільки (x - a) (2 x + a) = 0 тягне x 1 = a і x 2 = -a / 2, так як x ≠ -1 і x ≠ 2, отримаємо:

1. якщо a ≠ -1, a ≠ 2, -a / 2 ≠ -1, -a / 2 ≠ 2, тобто a Про R \ {- 1; 2; -4}, то рівняння має два рішення x 1 = a і x 2 = -a / 2 (якщо a = 0, рішення збігаються);
2. якщо a = -1, то рівняння має єдине рішення x = 1/2;
3. якщо a = 2, то рівняння не має рішень;
4. якщо a = -4, то рівняння має єдине рішення x = -4.

f) Якщо a = 0 або b = 0, то рівняння не має сенсу. Нехай a · b ≠ 0. Тоді рівняння рівносильне наступному

1. якщо b + a ≠ 0, тобто a ≠ - b, то рівняння має єдине рішення
2. якщо a = - b і c ≠ 0, то рівняння не має рішень.
3. якщо a = - b і c = 0, то будь-яка дійсна число є рішення даного рівняння.

g) ОДЗ рівняння визначається з системи

звідки , І, оскільки випливає, що якщо a = 0 то рівняння має рішення .

Нехай a ≠ 0. Тоді в ОДЗ рівняння набуде вигляду

1. якщо 2 a - 15 ≠ 0, тобто то отримаємо ;
2. якщо 2 a -15 = 0, тобто то рівняння не має рішень.

Таким чином для потрібно перевірити умову x ≠ a / 5 і x ≠ 1 / a:

У разі другого обмеження отримаємо

Таким чином, якщо рівняння не має рішень, а якщо то рівняння має єдине рішення

Приклад 3. Вирішити рівняння

Рішення. a) Використовуючи властивість модуля, одержимо:

b) Ліва частина рівняння приймає невід'ємні значення (як сума двох невід'ємних складових), а права частина дорівнює нулю. отже,

Таким чином, якщо a = 0, то система (а, отже, і рівняння) має єдине рішення x = 0, а якщо a ≠ 0, то система (і вихідне рівняння) рішень не має.

c) Так як | f (x) | = | - f (x) | рівняння можна переписати таким чином

Очевидно, що якщо a a = 0, то отримаємо | x | = 0, звідки x = 0.

Нехай a> 0. Тоді a = | a | = | (2 a - x) + (x - a) |, і рівняння набуде вигляду

Таким чином:

якщо a якщо a = 0, то рівняння має єдине рішення x = 0;

якщо a> 0, то рівняння має нескінченну кількість рішень - будь-яке число

d) Очевидно, що рівняння має рішення тільки при a> 0. Розглянемо три випадки:

1. Нехай x x - 1 | = - (x - 1), | x - 2 | = - (x - 2) і рівняння набуде вигляду - x + 1 - x + 2 = a або -2 x = a - 3 звідки . оскільки x звідки a> 1. Таким чином, якщо a> 1, то ;
2. Нехай x О [1; 2]. тоді | x - 1 | = X - 1, | x - 2 | = - (x -2) і рівняння набуде вигляду x - 1 - x + 2 = a, 0 · x = a - 1. Використовуючи твердження 1 , Отримаємо:

   якщо a = 1, то будь-яка дійсна число з відрізка [1; 2] є рішення вихідного рівняння;

   якщо a ≠ 1, то рішень немає.

3. Нехай x> 2. Тоді | x - 1 | = X - 1, | x - 2 | = X - 2 і рівняння набуде вигляду x - 1 + x - 2 = a звідки Оскільки x> 2, то тобто a> 1.

   Таким чином:

   якщо a> 1, то рівняння має два різних рішення

   і

   якщо a = 1, то будь-яке число відрізка [1; 2] є рішення рівняння;

   якщо a

   лінійні нерівності

   нерівності виду

   ax + b> 0, ax + b ≥ 0, ax + b ax + b ≤ 0, (2) де a, b Про R, x - змінна, називаються нерівностями першого ступеня (лінійними нерівностями).

   Оскільки всі нерівності ( 2 ) Вирішуються аналогічно, наведемо рішення лише першого з них: ax + b> 0. Розглянемо наступні випадки:

   1. a> 0, тоді ax + b> 0 И ax> - b И x> -b / a і, отже, безліч рішень нерівності ax + b> 0 (a> 0) є (-b / a; + Ґ);
   2. a ax + b> 0 И ax> - b И x b / a і, отже, безліч рішень нерівності ax + b> 0 (a Ґ; -b / a);
   3. a = 0, тоді нерівність прийме вигляд 0 · x + b> 0 і для b> 0 будь-яка дійсна число є рішення нерівності, а при b ≤ 0 нерівність не має рішень.

   Розглянемо кілька прикладів.

   Приклад 1. Вирішити нерівності

   a) 3 x + 6> 0; c) 2 (x + 1) + x x + 1; b) -2 x + 3 ≥ 0; d) 3 x + 2 ≥ 3 (x - 1) + 1.

   Рішення. a) 3 x + 6> 0 И 3 x> -6 И x> -2, і, отже, безліч рішень вихідного нерівності є (-2; + Ґ).

   b) -2 x + 3 ≥ 0 И -2 x ≥ -3 И x ≤ 3/2, тобто безліччю рішень вихідного нерівності є (- Ґ; 3/2].

   c) Після елементарних перетворень отримаємо лінійне нерівність

   2 (x + 1) + x x + 1 И 2 x + 2 + x x + 1 И 0 · x + 1 Так як 1 d) Вирішуючи аналогічно прикладу c), отримаємо 3 x + 2 ≥ 3 (x - 1) + 1 И 3 x + 2 ≥ 3 x - 3 + 1 И 0 · x + 4 ≥ 0, звідки випливає, що будь-яка дійсна число є рішенням вихідної нерівності.

   Приклад 2. Вирішити нерівності

   Рішення. a) У залежності від знака a розглянемо три випадки:

   1. якщо a> 0, то x ≤ 1 / a;
   2. якщо a x ≥ 1 / a;
   3. якщо a = 0, то нерівність набуде вигляду 0 · x ≤ 1 і, отже, будь-яка дійсна число є рішенням вихідної нерівності.

   Таким чином, якщо a> 0, то x О (- Ґ; 1 / a], якщо a x О [1 / a; + Ґ), і якщо a = 0, то x Про R.

   b) Зауважимо, що | x - 2 | ≥ 0 для будь-якого дійсного x і - (a -1) 2 ≤ 0 для будь-якого значення параметра a. Отже, якщо a = 1, то будь-який x дійсне число, відмінне від 2, є рішенням нерівності, а якщо a ≠ 1, то будь-яка дійсна число є рішенням нерівності. Відповідь: якщо a = 1, то x Про R \ {2}, а якщо a Про R \ {1}, то x Про R.

   c) Після елементарних перетворень отримаємо

   3 (4 ax) ax + 3 И 12 a - 3 x ax + 3 И 12 a - 3 ax + 3 x И x (2 a + 3)> 3 (4 a - 1).

   Далі розглянемо три випадки:

   1. якщо 2 a + 3> 0, тобто a> -3/2, то
   2. якщо 2 a + 3 a 3/2, то
   3. якщо 2 a + 3 = 0, тобто a = -3/2, то нерівність набуде вигляду 0 · x> -21 і, так як 0> -21 - справжнє числове нерівність, слід, що будь-яка дійсна число є рішенням вихідної нерівності .

   отже,

   якщо то

   якщо то

   якщо a = -3/2, то x Про R.

   d) abx + b> ax + 3 И abx - ax> 3 - b И a (b - 1) · x> 3 - b.

   Далі розглянемо такі випадки:

   1. якщо a (b - 1)> 0, тобто a> 0 і b> 1, або a b
4. якщо a (b - 1) a> 0 і b ab> 1, то
5. якщо a = 0, b ≠ 1 то нерівність набуде вигляду 0 · x> 3 - b і для b> 3 будь-яке число є рішенням, а якщо b О (- Ґ; 1) І (1; 3], то безліч рішень нерівності порожньо.
6. якщо a ≠ 0, b = 1, то нерівність набуде вигляду 0 · x> 2 і, очевидно, що воно рішень не має.

отже,

якщо a> 0 і b> 1, або a b

якщо a> 0 і b ab> 1, то

якщо a = 0 і b О (3; + Ґ), то x Про R;

якщо a = 0 і b О (- Ґ; 1) І (1; 3) чи a ≠ 0 і b = 1, то нерівність не має рішень.

e) Зауважимо, що a ≠ ± 1, (в іншому випадку нерівність не має сенсу). Нерівність переписується в такий спосіб

Далі розглянемо такі випадки:

1. нехай a О (- Ґ; -1) І (1; + Ґ), тоді (a - 1) (a + 1)> 0 і, отже, вихідне нерівність рівносильне наступному

2. нехай a О (-1; 1), тоді (a - 1) (a + 1) x (2 - 3 a) + 3 - a ≥ 0 або x (2 - 3 a) ≥ a - 3.

Остання нерівність виконується в такий спосіб:

якщо a = 2/3, то x Про R

якщо a О (-1; 2/3), то

якщо a О (2 / 3,1), то .

Таким чином, вихідне нерівність

при a О (- Ґ; -1) І (2/3; 1) має рішення

при a О (-1; 2/3) І (1; + Ґ) має рішення

при a = 2/3, будь-яка дійсна число є рішенням вихідної нерівності.

f) Початкове нерівність рівносильне наступному

1. якщо a> c, то a - c> 0 і, отже,
2. якщо a c, то
3. якщо a = c і d ≥ b, то безліч рішень нерівності порожньо;
4. якщо a = c і d b, то x Про R.

g) Зауважимо, що a ≠ 0 і b ≠ 0. Привівши до спільного знаменника, одержимо

Таким чином, якщо a і b одіннакогого знака (ab> 0) і a ≠ b, то безліч рішень нерівності є якщо a і b - протилежних знаків (ab а якщо a = b то нерівність не має рішень.

Приклад 3. Вирішити нерівності

Рішення. a) Зауважимо, що при a ≤ 0 нерівність рішень не має. Нехай a> 0. Розглянемо три випадки:

1. нехай x О (- Ґ; - a], тоді | x + a | = - x - a і | x - 2 a | = 2 a - x і нерівність набуде вигляду - x - a + 2 a - x a, або x> -3/2 a, оскільки a> 0, перетином множин (- Ґ; - a] і (А, отже, і безліччю рішень нерівності) явяется безліч
2. нехай x О (- a; 2 a], тоді | x + a | = x + a, і | x - 2 a | = 2 a - x, і нерівність набуде вигляду x + a + 2 a - x a або 3 a a і, оскільки a> 0, будь-яке число з інтервалу (- a; 2 a] є рішення нерівності;
3. нехай x О (2 a; + Ґ), тоді | x + a | = X + a і | x - 2 a | = X - 2 a, і нерівність набуде вигляду x + a + x - 2 a a або x 5/2 a. З огляду на умова x> 2 a, отримаємо x О (2 a; 5/2 a).

Таким чином, якщо a ≤ 0, то нерівність не має рішень, а якщо a> 0, то безліч рішень нерівності є (-3/2 a; - a] І (- a; 2 a] І (2 a; 5 / 2 a) або (-3/2 a; 5/2 a).

b) Зауважимо, що нерівність може мати лише позитивні рішення. Для x> 0 нерівність переписується | x + a | a | · | x | і вирішується, використовуючи властивості модуля:

Якщо a> 1, тоді a - 1> 0 і a + 1> 0, і перша система сукупності набуде вигляду

Якщо a = 1, то перша система сукупності не має рішень, а з другої отримаємо x 1/2, і, так як x> 0, то і в цьому випадку вихідне нерівність не має рішень.

Якщо -1 aa + 1> 0 і 1 - a> 0, і перша система сукупності набуде вигляду

Якщо a = -1, то перша система сукупності несовместна, а з другої отримаємо x> 1/2.

Якщо a a + 1 a> 0, і з першої системи слід

Таким чином,

якщо a О (- Ґ; -1) І (1; + Ґ), то

якщо a О [0; 1], то нерівність не має рішень;

якщо a = -1, то x О (1/2; + Ґ).

c) Використовуючи властивість модуля, одержимо

d) Якщо a a = 0, то нерівність має єдине рішення: x = 0. Якщо a> 0, то