1. ПРОСТІ І СКЛАДНІ Висловлювання.
ЗАПЕРЕЧЕННЯ, кон'юнкції, диз'юнкції
Висловлення - граматично правильна пропозиція, взяте разом з висловлюваним їм змістом (змістом) і що є істинним чи хибним.
Висловлення - більш складне утворення, ніж ім'я. При розкладанні висловлювань на частини, ми завжди отримуємо ті чи інші імена. Скажімо, висловлювання «Сонце є зірка» включає в якості своїх частин імена «Сонце» і «зірка».
Поняття висловлювання - одне з ключових в логіці. Як таке, воно не допускає точного визначення, в рівній мірі застосовні в різних її розділах. Ясно, що будь-яке висловлювання описує певну ситуацію, щось стверджуючи або заперечуючи про неї, і є істинним або хибним.
Висловлення вважається дійсним, якщо дається їм опис відповідає реальній ситуації, і хибним, а то й відповідає їй. «Істина» і «брехня» називаються істиннісними значеннями висловлювання.
З окремих висловлювань різними способами можна будувати нові висловлювання. Так, з висловлювань «Дме вітер» і «Йде дощ» можна утворити більш складні висловлювання «Дме вітер і йде дощ», «Або дме вітер, або йде дощ», «Якщо йде дощ, дме вітер» і т.п. Слова «і», «або, або», «якщо, то» і т.п., що використовуються для утворення складних висловлювань, називаються логічними зв'язками.
Висловлення називається простим, якщо воно не включає інших висловлювань в якості своїх частин.
Висловлювання є складним, якщо воно отримано за допомогою логічних зв'язок з кількох більш простих висловлювань.
Може здатися, що знайомство з висловлюваннями найприродніше почати з вивчення простих висловлювань і їх частин, і вже потім приступити до вивчення того, як з простих висловлювань утворюються складні. У логіці, проте, підхід є зворотним. Спочатку розглядаються способи побудови складних висловлювань з простіших, при цьому просте висловлювання береться як нерозкладне далі ціле (як «атом»), і тільки потім переходять до виявлення будови простих висловлень. Аналіз структури складних висловлювань передує аналізу структури простих. Пояснюється це наступним: для того, щоб розуміти способи поєднання висловлювань, зовсім не обов'язково знати, що таке просте висловлювання; досить враховувати тільки те, що останнє має певне значення істинності. Прості висловлювання надзвичайно різноманітні, виявлення складових їх частин багато в чому залежить від прийнятого способу їх аналізу. Деякі логічні зв'язки між висловлюваннями не залежить від будови простих висловлень. Розумно тому вчинити так, як якщо б ми знали все про простих висловлюваннях, тобто залишити питання про їх структуру на час в стороні і зайнятися логічними зв'язками висловлювань. Останнє завдання є відносно легкою.
Та частина логіки, в якій описуються логічні зв'язки висловлювань, які не залежать від структури простих висловлювань, називається загальною теорією дедукції.
Перейдемо тепер до розгляду найбільш важливих способів побудови складних висловлювань.
Заперечення - логічна зв'язка, за допомогою якої з даного висловлювання виходить нове, причому, якщо оригінал висловлювання істинно, його заперечення буде хибним, і навпаки. Негативне висловлювання складається з вихідного висловлювання і заперечення, що виражається зазвичай словами «не», «невірно, що». Негативне висловлювання є, таким чином, складним висловлюванням: воно включає в якості своєї частини відмінне від нього висловлювання. Наприклад, запереченням висловлювання «10 - парне число» є вислів «10 не їсти парне число» (або: «Невірно, що 10 є парне число»).
Будемо позначати висловлювання буквами А, В, С, ..., заперечення висловлювання - символом ~. Повний зміст поняття заперечення висловлювання задається умовою: якщо висловлювання Л істинно, його заперечення А помилково, і якщо А помилково, його заперечення, ~ А, істинно. Наприклад, так як висловлювання «1 є ціле позитивне число» істинно, його заперечення «1 не є цілим позитивним числом» помилково, а так як «1 є просте число» помилково, його заперечення «1 цієї статті не є просте число» істинно.
Визначенню заперечення можна надати форму таблиці істинності, в якій «і» означає «істинно» і «л» - «хибно».
В результаті з'єднання двох висловлювань за допомогою слова «і», ми отримуємо складне висловлювання, зване кон'юнкція. Висловлювання, що з'єднуються таким способом, називаються членами кон'юнкції. Наприклад, якщо висловлювання «Сьогодні спекотно» і «Вчора було холодно» з'єднати зв'язкою «і» вийде кон'юнкція «Сьогодні спекотно і вчора було холодно».
Кон'юнкція істинна тільки в разі, коли обидва входять до неї висловлювання є істинними; якщо хоча б один з її членів хибна, то і вся кон'юнкція помилкова.
Висловлення А може бути або істинним, або хибним, і те ж саме можна сказати про висловлення В. Отже, можливі чотири пари значень істинності для цих висловлювань.
Позначимо кон'юнкцію символом &. Таблиця істинності для кон'юнкції приведена нижче.
Визначення кон'юнкції, а також визначення інших логічних зв'язок, службовців для освіти складних висловлювань, грунтується на наступних двох припущеннях:
1) кожне висловлювання (як просте, так і складне) має одне і тільки одне з двох значень істинності: воно є або істинним, або хибним;
2) истинностное значення складного висловлювання залежить тільки від істиннісних значень назв висловлювань і способу їх логічного зв'язку між собою.
Ці припущення здаються простими. Прийнявши їх, потрібно, однак, відкинути ідею, що, поряд з істинними і помилковими висловлюваннями, можуть існувати також висловлювання невизначені з точки зору свого истинностного значення (такі, як, скажімо, «Через п'ять років в цей час буде йти дощ з громом» і т.п.). Потрібно відмовитися також від того, що истинностное значення складного висловлювання залежить від «зв'язку за змістом» з'єднуються висловлювань.
У звичайній мові два висловлювання з'єднуються союзом «і», коли вони пов'язані між собою за змістом, або змістом. Характер зв'язку з цим не цілком ясний, але зрозуміло, що ми не розглядали б кон'юнкцію «Він йшов в пальто і я йшов до університету» як вираз, що має сенс і здатне бути істинним або хибним. Хоча висловлювання «2 - просте число» і «Москва - велике місто» істинні, ми не схильні вважати істинної також їх кон'юнкцію «2 - просте число і Москва - велике місто», оскільки складові її висловлювання не пов'язані між собою за змістом.
Спрощуючи значення кон'юнкції і інших логічних зв'язок і відмовляючись для цього від неясного поняття «зв'язок висловлювань за змістом», логіка робить значення цих зв'язок одночасно і більш широким, і більш ясним.
Поєднуючи два висловлювання з допомогою слова «або», ми отримуємо диз'юнкцію цих висловлювань. Висловлювання, що утворюють диз'юнкцію, називаються членами диз'юнкції.
Слово «або» в повсякденній мові має два різних сенсу. Іноді воно означає «одне або інше або обидва», а іноді «одне або інше, але не обидва разом». Вислів «У цьому сезоні я хочу піти на" Пікову даму "або на" Аїду "» допускає можливість дворазового відвідування опери. У висловлюванні ж «Він вчиться в Московському або в Саратовському університеті» мається на увазі, що згадуваний людина вчиться тільки в одному з цих університетів.
Перший сенс «або» називається невиключає. Узята в цьому сенсі диз'юнкція двох висловлювань означає тільки, що принаймні одне з цих висловлювань істинно, незалежно від того, істинні вони обидва чи ні. Узята в другому, що виключає, сенсі диз'юнкція двох висловлювань стверджує, що одне з них істинно, а друге - хибне.
Символ v означатиме диз'юнкцію в невиключає сенсі, для диз'юнкції в виключає сенсі буде використовуватися символ V. Таблиці для двох видів диз'юнкції показують, що невиключає диз'юнкція істинна, коли хоча б одне з вхідних в неї висловлювань істинно, і помилкова, тільки коли обидва її члена помилкові; виключає диз'юнкція істинна, коли істинним є тільки один з її членів, і вона помилкова, коли обидва її члена правдиві або обидва хибні.
У логіці і математиці слово «або» завжди вживається в невиключає значенні.
Розкладання деякого висловлювання на прості, далі нерозкладних частини дає два види виразів, які називаються власними і невласними символами. Особливість власних символів в тому, що вони мають якийсь зміст, навіть взяті самі по собі. До них відносяться імена (що позначають деякі об'єкти), змінні (що відсилають до якоїсь області об'єктів), висловлювання (що описують якісь ситуації і є істинними або помилковими). Невласні символи не мають самостійного змісту, але в поєднанні з одним або декількома власними символами утворюють складні вирази, які вже мають самостійний зміст. До невласних символів відносяться, зокрема, логічні зв'язки, які використовуються для утворення складних висловлювань з простих: «... і ...», «... або ...», «або ..., або ...», «якщо ..., то ...», «... тоді і тільки тоді, коли ... »,« ні ..., ні ... »,« ні ..., а ... »,« ..., але не ... »,« невірно, що ... »і т.п. Саме по собі слово, скажімо «або», що не позначає ніякого об'єкта. Але в сукупності з двома власними, що позначають символами це слово дає новий позначає символ: з двох висловлювань «Лист отримано» і «Телеграма відправлена» - нове висловлювання «Лист отримано або телеграма відправлена».
Центральна задача логіки - відділення правильних схем міркування від неправильних і систематизація перших. Логічна правильність визначається логічною формою. Для її виявлення потрібно відволіктися від змістовних частин міркування (власних символів) і зосередити увагу на невласних символах, які представляють цю форму в чистому вигляді. Звідси інтерес формальної логіки до таких, як правило, не привертає уваги, словами, як «і», «або», «якщо, то» і т.п. [1]
