Проект і вная геом е трия, розділ геометрії, що вивчає властивості фігур, не змінних при проективних перетвореннях , Наприклад при проектуванні. Такі властивості називаються проектними. Паралельність і перпендикулярність прямих, рівність відрізків і кутів - непроектівние властивості, тому що пересічні прямі / і m можуть спроектувати в паралельні / 'і m' (рис. 1), рівні відрізки AB і BC - в нерівні A'B 'і B'C' (рис. 2), і т.д. Проекція будь-якої лінії другого порядку є знову лінія другого порядку, так що приналежність класу ліній другого порядку - проективне властивість. Проективним є і гармонійне розташування 4 точок на прямій.
При проектуванні точок однієї площини на іншу не кожна точка площини П має образ на площині П 'і не кожна точка П' має прообраз П (див. відображення ). Ця обставина привела до необхідності доповнення евклідової площини т. Н. нескінченно віддаленими (невласними) точками (див. Нескінченно видалені елементи ). Таке приєднання призводить до утворення нового геометричного об'єкта - проективної площині.
Приєднуючи до прямої невласну точку, отримують проектну пряму. До непаралельність прямим приєднуються різні точки, до паралельних - одна і та ж. Доповнюючи площину невласною прямий, вважають, що на ній лежать невласні точки всіх прямих площині. Евклидова площину, доповнена невласними елементами, називається (дійсної) проективної площиною. На ній через будь-які дві різні точки проходить до того ж лише одна пряма, і будь-які дві різні прямі мають до того ж лише одну спільну точку. Доповнення евклідової площини до проективної призводить до того, що проектування стає взаємно однозначним перетворенням.
Аналогічним чином з евклідового простору виходить проективне простір .
Існують різні способи аксіоматичного завдання дійсній проектній плоскості. Найбільш поширена система аксіом виходить видозміною системи аксіом, запропонованої Д. Гильбертом для обгрунтування плоскої геометрії Евкліда (див. геометрія ). Проективна площину розглядається як сукупність елементів двох пологів: крапок і прямих, між якими встановлюються відносини приналежності і порядку, що характеризуються відповідними аксіомами. Перша група аксіом відрізняється від відповідної групи аксіом евклідової геометрії тим, що кожні дві прямі на площині мають загальну точку, і що на прямій є принаймні три різні точки. В якості основного відносини порядку приймається розділеність двох пар точок, що лежать на одній прямій, що описується другою групою аксіом. На рис. 3 пара точок С і D розділяє пару точок А і В, а пара А і С не розділяє пару В і D. Іноді до цих аксіом додаються безперервності аксіоми .
Існують інтерпретації проективної площині, що не привертають нескінченно віддалених елементів. Наприклад. нехай R3 - евклідів простір і Про - точка в ньому. Позначимо через П безліч прямих, що проходять через О; точкою в П назвемо евклидову пряму, що проходить через О, а прямий в П - безліч евклідових прямих, що проходять через О і лежать в одній площині. Тоді П задовольняє аксіомам проективної площині.
координати на проективної площині можна ввести, наприклад, наступним чином. Нехай П '- проективна площину, відповідна евклідової площині П, і нехай на П задана декартова система координат. Якщо М (х, у) - точка площині П, то однорідними координатами точки М називаються будь-які три числа (x1, x2, x3) такі, що x1 / x3 = х, x2 / x3 = у. Якщо ¥ - невласна точка площині П, то через неї проходить пучок паралельних прямих; однорідними координатами точки ¥ називаються будь-які три числа (x1, x2, x3), перші два з яких суть координати вектора, паралельного цим прямим, а x3 = 0. Т. о., однорідні координати точки з П 'є трійку чисел, що не рівних одночасно нулю. Будь-яка пряма на проективної площині визначається лінійним однорідним рівнянням u1x1 + u2x2 + u3х3 = 0 між однорідними координатами точок цієї прямої, і назад всяка подібна рівняння визначає пряму. Числа (u1, u2, u3), нерівні одночасно нулю, називаються однорідними координатами прямої. Рівняння невласною прямий має вигляд x3 = 0. Якщо розглядати проектну площину П 'як пучок прямих в просторі, то однорідні координати отримують прозорий геометричний сенс - це координати якогось направляючого вектора прямої, яка зображує точку проективної площині. Аналогічним чином вводяться координати і в проектному просторі.
Одним з чудових положень П. р є принцип подвійності. Кажуть, що точка і пряма інцидентні, якщо точка лежить на прямій (або пряма проходить через точку). Тоді виявляється, що якщо вірно деякий пропозицію А про точках і прямих проективної площині, сформульоване тільки в термінах інцидентності між ними, то буде вірно і пропозиція В, двоїсте пропозицією А, т. Е. Пропозиція, яке виходить з А заміною слова «точка» на слово «пряма», а слова «пряма» на слово «точка». Див. подвійності принцип .
Важливу роль в П. р грає теорема Дезарга: якщо відповідні сторони двох трикутників ABC і A'B'C '(рис. 4), що лежать в одній площині, перетинаються в точках Р, Q, R, що лежать на одній прямій, то прямі, що з'єднують відповідні вершини, перетинаються в одній точці О, і назад: якщо прямі, що з'єднують відповідні вершини трикутників ABC і A'B'C ', що лежать в одній площині, сходяться в одній точці, то відповідні сторони цих трикутників перетинаються в точках, лежать на одній прямій. Зворотній теорема Дезарга двоїста прямий теоремі за принципом подвійності. Цікаво, що цю теорему можна довести лише на основі аксіом інцидентності проективної площині, проте вона справедлива на будь-який проективної площині, яка лежить в проектному просторі, - така, наприклад, дійсна проектна площину. Перший приклад недезарговой проективної площині дав Д. Гільберт.
Виконання теореми Дезарга необхідно і достатньо для введення координат на проективної площині синтетичним шляхом. Це робиться за допомогою так званого обчислення вурфов; воно полягає в тому, що на проективної прямої вводяться операції додавання і множення точок, що перетворюють її в тіло k. Побудова здійснюється за допомогою повних четирёхвершінніков - плоских фігур, складених чотирма точками, з яких ніякі три не лежать в одній прямий (рис. 5), і шістьма прямими, що з'єднують попарно ці точки; така конфігурація дозволяє визначити чисто проективно поняття гармонійної четвірки точок. Двоїстим чином з використанням повних четирехсторонников встановлюються операції додавання і множення в пучку прямих.
Властивості проективної прямий, як алгебри, визначаються, з одного боку, геометричними властивостями проективної площині, в якій вона розташована. Так, наприклад, коммутативность тіла рівносильна виконанню т. Н. аксіоми Паппа: якщо / і / '- дві різні прямі, А, В, С і A', B ', С' - трійки різних точок прямих / і l 'відповідно, то точки перетину прямих AB' і A'B, AC 'і A'C, BC' і B'C лежать на одній прямій; тіло k має відмінну від двох характеристику тоді і тільки тоді, коли діагональні точки Р, О, R повного четирёхвершінніка ABCD не лежать в одній прямий [Р, О, R визначаються як точки перетину прямих AB і CD, AC і BD, AD і BC відповідно (рис. 5)]. З ін. Боку, в залежності від вибору вихідного тіла k визначаються різні проектні площині ПK як сукупності класів пропорційних трійок елементів тіла k [за винятком трійки (0, 0, 0)]. Такий аналітичний підхід поряд з синтетичним з успіхом застосовується для вивчення проективних властивостей кривих і поверхонь. Аналогічні побудови можна провести і для проектованого простору.
Лінією другого порядку на проективної площині називають об'єкт, який визначається з точністю до множника пропорційності класом однорідних рівнянь другого ступеня:
a11 (x1) 2 + a22 (x2) 2 + a33 (x3) 2 +2 a12 x1x2 +2 a 2 3 x2x3 + 2a 31 x3x1 = 0.
Будь-яка нераспадающіхся лінія другого порядку на дійсній проектній плоскості (овальна лінія) є або еліпс, або гіпербола, доповнена невласними точками її асимптот, або парабола, доповнена невласною точкою її діаметрів. Розпадається лінія другого порядку складається з двох прямих (різних або співпадаючих) або однієї точки. Нарешті, можлива нераспадающіхся лінія другого порядку, що не містить дійсних точок. Цим вичерпується проектна класифікація всіх ліній другого порядку. Фігурою, двоїстої лінії другого порядку, є пучок прямих другого класу - об'єкт, який визначається класом пропорційних однорідних рівнянь другого ступеня в координатах (u 1, u 2, u 3). Що огинає невиродженого пучка прямих є лінія другого порядку.
Якщо на проективної площині задані п'ять точок, з яких ніякі чотири чи не лежать на одній прямій, то існує і притому тільки одна лінія другого порядку, що проходить через ці точки. Точки перетину протилежних сторін шестикутника, вписаного в лінію другого порядку, лежать на одній прямій (теорема Паскаля) (рис. 6). У разі розпаду лінії другого порядку ця теорема зводиться до твердження, що формулюються аксіомою Паппа. Двоїстої теоремою Паскаля є теорема Бріаншона: діагоналі, що з'єднують протилежні сторони шестісторонніка, описаного близько овальної лінії другого порядку, проходять через одну точку (рис. 7). Див. також Полюси і поляри .
Основи П. р були закладені в 17 ст. Ж. Дезаргом (У зв'язку з розвитком їм вчення про перспективу) і Б. Паскалем (У зв'язку з вивченням їм деяких властивостей конічних перетинів) Велике значення для подальшого розвитку П. р мали роботи Г. Монжа (2-я половина 18 - початок 19 ст.). Як самостійна дисципліна П. р була викладена Ж. Понселе (Початок 19 ст.). Заслуга Понселе полягала у виділенні проективних властивостей фігур в окремий клас і встановленні відповідностей між метричними і проектними властивостями цих фігур. До цього ж періоду відносяться роботи французького математика Ж. Бріаншона. Подальший розвиток П. р отримала в працях швейцарського математика Я. Штейнера і французького математика М. Шаля. Велику роль у розвитку П. р зіграли роботи німецького математика К. Штаудт. Його роботами були намічені також контури аксіоматичної побудови П. р Всі ці геометри прагнули доводити теореми П. р синтетичним методом, поклавши в основу викладу проектні властивості фігур. Аналітичний напрям в П. р було намічено роботами А. Мебіуса . Вплив на розвиток П. р надали роботи Н. І. Лобачевського по створенню неевклідової геометрії, що дозволили в подальшому А. Келі і Ф. Клейну розглянути різні геометричні системи з точки зору П. р Розвиток аналітичних методів звичайною П. р і побудова на цій базі комплексної П. р (німецький математик Е. штудиями, Е. Картал ) Поставили завдання про залежність тих чи інших проектних властивостей від того тіла, над яким побудована геометрія. У вирішенні цього питання великих успіхів домоглися А. Н. Колмогоров і Л. С. Понтрягин .
Деякі положення і факти П. р застосовуються в номографії, в теорії статистичних рішень, в квантової теорії поля і в конструюванні друкованих схем (через теорію графів).
Літ .: Вольберг О. А., Основні ідеї проективної геометрії, 3 вид., М. - Л., 1949; Глаголєв Н. А., Проектна геометрія, 2 вид., М., 1963; Єфімов Н. В., Вища геометрія, 5 видавництво., М., 1971; Хартсхорн Р., Основи проективної геометрії, пров. з англ., М., 1970; Veblen О., Young JW, Projective geometry, v. 1-2, Boston - NY, 1910-18.
По матеріалах однойменної статті з 2-го видання БСЕ.
Мал. 1.
Мал. 2.
Мал. 3.
Мал. 5.
Мал. 7.
Мал. 6.
Мал. 4.
