За два роки до цієї роботи Гаусса професор Казанського університету Микола Іванович Лобачевський представив Вченій раді фізико-математичного факультету своє знамените "Короткий виклад основ геометрії із строгим доказом теореми про паралельних".
У цьому творі Лобачевський виклав основи нової, неевклідової геометрії. Вченню Ньютона-Канта про абсолютне значення евклідового простору було завдано нищівного удару. Евклідова геометрія перестала бути єдиною "істинної" геометрією, постулати якої Кант вважав вродженими істинами. Лобачевський замість п'ятого постулату Евкліда прийняв інший. "Почала геометрії" Лобачевського, що містять нову геометрію, відмінну від евклідової, друкувалися в "Вчених записках Казанського університету" за 1836 1837, 1838 рр. У 1840 р на німецькій мові вийшла праця Лобачевського "Геометричні дослідження з теорії паралельних". У "Вступі" Лобачевський пише: "У геометрії я знайшов деяку недосконалість, яке я вважаю причиною того, що ця наука, оскільки вона не переходить у аналіз, до теперішнього часу не вийшла ні на один крок за межі того стану, в якому вона до нам перейшла від Евкліда ".
Таким чином, Лобачевський відразу ставить питання про необхідність розвитку геометрії, яка не може залишатися в тому стані, як вона була залишена Евклидом. Натомість п'ятого постулату про паралельних Лобачевський висуває свій постулат: "Усі прямі лінії, що виходять в деякій площині з однієї точки, можуть бути по відношенню до деякої заданої, прямий тій же площині розділені на два класи, саме на перетинають її і непересічних. Гранична лінія одного і іншого класу цих прямих ліній називається паралельної заданої лінії ... "
"При переході від перетинають ліній AF1 до непересічних AG ми повинні зустріти лінію АН, паралельну DC - граничну лінію, по одну сторону якої жодна лінія не зустрічає DC, між тим як по іншу сторону кожна лінія AF перетинає лінію DC. Кут HAD між паралеллю АН і перпендикуляром AD називається кутом паралелі (кутом паралельності), ми будемо тут позначати його через П (Р) при AD = P ". В слуги чаї якщо П (Р) = π / 2, лінії можуть бути тільки перетинають або паралельними. Для П (Р) <π / 2 слід допустити дві паралелі АН і АК, одну з одного боку перпендикуляра AD, іншу по іншу.
Твір Лобачевського було прочитано Гауссом, який високо оцінив його, проте тільки в приватному листуванні, що стала надбанням суспільства в 60-х роках (1860-1863). Гаусс також оцінив і значення роботи угорського математика Йоганна Больяи, який в 1837 р послав Гауса свій твір "Апендикс" ( "Додаток, що викладає абсолютно істинне вчення про простір, незалежно від невирішеною ще a priori істинність або хибність XI евклідової аксіоми: разом з випадком хибності розглядається геометрична квадратура кола ").
Гаусс в листі батькові Йоганна Больяи Вольфгангу пише, що він "вражений до крайності", "бо все зміст цього твору, шлях, обраний твоїм сином, і результати, до яких він прийшов, збігаються майже повністю з моїми власними роздумами, розпочатими частково 30- 35 років тому ". Гаусс дійсно займався проблемами неевклідової геометрії, але нічого за життя не публікував з цього питання, я побоявся, як він сам зізнавався, "крику беотийцев", т. Е. Неосвічених людей, які вірять в геометрію Евкліда, як єдино вірну геометрію. Тим часом творці неевклідової геометрії довели можливість інших логічних несуперечливих систем. Питання про істинність геометрії, т. Е. Про відповідність її законів законам природи, повинен вирішити тільки досвід. "Повірити в істину геометрії Евкліда, - писав Лобачевський, - можуть досліди, наприклад астрономічні спостереження". Створення неевклідової геометрії висунуло важливу проблему про співвідношення геометрії і досвіду, про зв'язок геометричних законів до законів природи. Разом з тим виникла ширша постановка питання про властивості простору. Математики стали обговорювати ідею багатовимірного простору, окремим випадком якого є тривимірне. Така постановка була висунута Г. Грассманом в книзі "Вчення про протяжності" (1844). Тут же обговорювалися більш загальні класи величин, вектори і тензори.
Через 10 років після виходу книги Грассмана, в 1854 р німецький математик Бернгард Ріман виголосив знамениту промову "Про гіпотези, що лежать в основі геометрії". Починаючи свою промову, Ріман вказує, що "геометрія передбачає заданими як поняття простору, так і перші основні поняття, які потрібні для виконання просторових побудов". Він вказує далі, що взаємовідношення між поняттями і аксіомами залишається нез'ясованим. "Причина цій обставині, - каже Ріман, - як я вважаю, полягає в тому, що загальна концепція багаторазово протяжних величин, до яких відносяться просторові величини, залишалася зовсім не розробленою". "У зв'язку з цим, - продовжує Ріман, - я поставив перед собою завдання, виходячи із загального поняття про величину, сконструювати поняття багаторазово протяжної величини. Ми прийдемо до висновку, що в багато разів протяжної величиною можливі різні мероопределенія і що простір є не що інше , як окремий випадок тричі протяжної величини. Необхідною наслідком звідси з'явиться те, що пропозиції геометрії не виводяться з загальних властивостей протяжних величин і що, навпаки, ті властивості, які виділяють простір з інших, мислимих т іжди протяжних величин, можуть бути почерпнуті не інакше як з досвіду ".
Найважливішою гіпотезою, прийнятої Ріманом, є гіпотеза незалежності ліній від їх положення ... "Мероопределеніе, - каже Ріман, - має на увазі незалежність величин від місця розташування".
Звідси він робить припущення, що "довжини ліній не залежить від їх положення, так що кожна лінія вимірюється за допомогою кожної".
Друга гіпотеза Рімана стосується вираження для елемента дуги в просторі n-вимірів. Він вважає, що
У разі якщо цей вислів зведеться до суми квадратів (теорема Піфагора), простір називається плоским. Досліджуючи, за яких умов простір буде плоским, Ріман вводить величину, яка служить "мірою того, наскільки різноманіття з даного площинному напрямку відхиляється від плоского різноманіття. Будучи помноженої на -3/4, вона стає рівною тій величині, яку р таємний радник Гаусс назвав мірою кривизни поверхні ".
Ріманова кривизна на відміну від гаусом є тензорною величиною. При позитивній кривизні виходить ріманово сферичне необмежену, але кінцеве простір. При нульовій кривизни простір стає плоским, нескінченним евклідовому простором, і, нарешті, при негативній кривизні виходить псевдосферіческое простір Лобачевського.
Ріман ставить глибокий питання про причини, що обумовлюють метрику простору. Він вказує, що р випадку дискретності простору метрика міститься вже в самому понятті дискретного різноманіття, але для безперервного простору причина метрики криється в зовнішніх причинах. "Звідси випливає, що або щось реальне, що створює ідею простору, утворює дискретне різноманіття, або ж потрібно намагатися пояснити виникнення метричних відносин чимось зовнішнім - силами зв'язку, що діють на це реальне".
Таким чином, Ріман поставив у всій спільності питання про простір і його метричних властивостях і показав, що походження цих властивостей слід шукати в фізиці. "Тут ми стоїмо, - закінчує він своє знамените твір, - на порозі області, що належить іншій науці - фізиці, і переступати його не дає нам приводу сьогоднішній день".
Цей поріг було перейдено Ейнштейном. Однак уже інший фізик XIX століття, Герман Гельмгольц, поставив питання про фізичних фактах, що утворюють основу геометрії. У 1868 р з'явилася робота Гельмольца "Про факти, що лежать в основі геометрії". Вона представляла зміст доповіді, прочитаного 22 травня 1868 року в природно-медичному суспільстві Гейдельбёрга. Гельмгольц, працюючи над основами геометрії, не знав про роботи Рімана і почув про них від Геттінгенського професора Шеринга, який надіслав Гельмгольцу статті про Ріманом. "У Вашої замітці про його (Рімана) життя я знайшов вказівку, що він прочитав інавгуральную лекцію про гіпотези геометрії. Я сам останні два роки в зв'язку з моїми дослідженнями по фізіологічній оптиці займався тим же предметом, але робота ще не закінчена і не опублікована, так як я все ще сподіваюся, що можна узагальнити окремі результати ". Гельмгольц запитує Шеринга, надрукована або буде надрукована робота Рімана (вона була надрукована в тому ж таки 1868 року в Геттінгені) і наскільки його результати перекривають роботу Гельмгольца. Отримавши від Шеринга відповідь, що "істотний момент у дослідженнях Рімана являє теорема, що величина, визначена Гауссом в якості запобіжного кривизни, представляє диференційний інваріант для однорідного диференціального виразу другого ступеня першого порядку з двома незалежними змінними, Гельмгольц пише йому 18 травня, що його робота не перекривається роботою Рімана, і просить надрукувати її в тому ж Геттінгенському журналі, в якому з'явилася і робота Рімана. Гельмгольц показав, що знайдене Ріманом узагальнення теореми Піфаго ра буде єдино можливим, якщо постулювати деякі пропозиції про рухах твердих тіл. Якщо існують факти, що стосуються твердих тіл і виведені з досвіду, а саме: 1) тверде тіло може вільно рухатися всюди, де немає іншого тіла, 2) форма тіла не залежить від його обертання, 3) тверде тіло може рухатися, якщо закріпити одну його точку, 4) тверде тіло може рухатися і тоді; коли закріплені дві точки, і 5) воно нерухомо, коли закріплені три точки, то Гельмгольц приходить до висновку, що єдиною мірою довжини лінійного елем нта є довжина в формі Рімана. При цьому він постулює, що простір безперервно і кожна точка його (окремий елемент) визначається виміром деяких безперервних і незалежно один від одного мінливих величин (координат).
Таким чином, Гельмгольц з усією ясністю показав, що геометричні властивості простору є властивості твердих тіл. Він пояснював, що в разі нескінченного простору воно може бути тільки евклідовим. Бельтрами, що дав у тому ж таки 1868 р інтерпретацію неевклідової геометрії і тим самим показав логічну несуперечливість геометрії Лобачевського, в листі Гельмгольцу від 24 квітня 1869 року повідомив, що в разі нескінченного простору можлива і псевдосферіческая геометрія Лобачевського-Больяи. Гельмгольц визнав свою помилку і повідомив про це в своїй доповіді Товариству натуралістів в Гейдельберзі 30 квітня 1869 р У 1877 р виступив зі своїми дослідженнями з теорії груп норвезький математик Софус Лі.
Досліджуючи ідеї Гельмгольца, Лі показав, що всі переміщення твердого тіла утворюють групу. Основні властивості простору: однорідність, ізотропності, безперервність, нескінченність - відображаються тим фактом, що переміщення утворюють безперервну нескінченну групу. У зв'язку з дослідженнями Лі і Гельмгольца Пуанкаре сказав: "Простір є група". "Якби не було твердих тіл, ми не мали б геометрії".
Слід далі згадати англійського математика В. Кліффорда, якому належить знаменитий вислів про Лобачевском: "Коперник геометрії". Кліффорд настільки перейнявся ідеєю про зв'язок геометрії і фізики, що одним з перших висловив ідею, що чисто фізичні відносини можуть бути виведеними з геометрії. У його творі "Здоровий глузд точних наук", виданому посмертно Карлом Пірсоном в 1885 р, ми читаємо: "Наш простір може бути дійсно тотожне у всіх своїх частинах (має однакову кривизну), за величиною його кривизна може змінюватися як ціле в часі. в такому випадку наша геометрія, заснована на тотожності простору, збереже свою силу для всіх частин простору, але зміни в кривизні можуть призвести в просторі ряд послідовних видимих фізичних змін ".
"Ми можемо мислити наш простір як має приблизно однорідну кривизну, але легкі зміни кривизни можуть існувати при переході від однієї точки до іншої, в свою чергу змінюючись в часі. Ці зміни кривизни в часі можуть призвести явища, які ми не так вже неприродно приписуємо фізичним причин, не залежних від геометрії нашого простору. Ми можемо зайти тут настільки далеко, що пріпішем зміни кривизни навіть те, що в "дійсності" відбувається в явищі, званому нами "рухом матерії ..." . Гіпотез, в якому йдеться, що простір не гомолоідально (т. Е. Евклидово), що його геометричний характер може змінюватися в часі, можливо, судилося або не судилося зіграти велику роль у фізиці майбутнього, але ми не в праві не розглядати їх як можливі пояснення фізичних явищ, тому що їх можна протиставити всюди поширеній догматичного віруванням у загальність відомих геометричних теорем, віруванням, що утворився завдяки століттям безперервного шанування Евкліда ".
Говорячи про ці ідеї Кліффорда, А. В. Васильєв писав: "Я не міг припускати, що мені доведеться дожити до того часу, коли фантастична теорія Кліффорда буде розглядатися як передбачення математичної доктрини, основна ідея якої полягає в тому, що метричні властивості простору найтіснішим чином пов'язані з фізичними явищами ". Математики, розробляючи нові основи геометрії, не тільки зміцнювали ідеї про тісний зв'язок геометрії і фізики, вони підготували також математичний апарат, відповідний для подання такої зв'язку. Вчення про кватерніонів Гамільтона і Грассмана, розробка основ векторного аналізу в теорії поля отримали свій розвиток в роботі Річчі і Леві-Чівіта "Метод абсолютного диференціального обчислення і його додатки" (1901), в якій розроблялося тензорне обчислення. Математики підготували грунт для розвитку теорії відносності.
