Поняття давньогрецька математика охоплює досягнення грецькомовних математиків, які жили в період між VI століттям до н. е. і V століттям н. е.
Математика як наука народилася в Древній Греції [1] [2] . У країнах-сучасників Еллади математика використовувалася або для звичайних потреб (підрахунки, вимірювання), або, навпаки, для магічних ритуалів, що мали на меті з'ясувати волю богів ( астрологія , нумерологія і т.п.). Греки підійшли до справи з іншого боку: вони висунули тезу «Числа правлять світом». Або, як сформулював цю саму думку Галілей два тисячоліття тому: «книга природи написана мовою математики» [3] .
Греки перевірили справедливість цієї тези в тих областях, де зуміли: астрономія , оптика , музика , геометрія , Пізніше - механіка . Усюди були відзначені вражаючі успіхи: математична модель володіла беззаперечною прогностичної сили. Одночасно греки створили методологію математики і завершили перетворення її з зводу полуеврістіческіх алгоритмів в цілісну систему знань. Основою цієї системи вперше став дедуктивний метод , Який показує, як з відомих істин виводити нові, причому логіка виведення гарантує істинність нових результатів. Дедуктивний метод також дозволяє виявити неочевидні зв'язки між поняттями, науковими фактами і областями математики.
Велика частина античних творів з математики не дійшла до наших днів і відома тільки по згадках пізніших авторів і коментаторів, в першу чергу Паппа Олександрійського (III століття), Прокла (V століття), Сімплікія (VI століття) і ін. Серед збережених праць в першу чергу слід назвати «Начала» Евкліда і окремі книги Аристотеля , Архімеда , Аполлонія і Діофанта .
Аж до VI століття до н. е. грецька математика нічим не виділялася. Були, звісно ж, освоєні рахунок і вимір. Грецька нумерація (запис чисел), як пізніше римська, була адитивною, тобто числові значення цифр складалися. Перший її варіант (аттическая, або геродіанова) містили літерні значки для 1, 5, 10, 50, 100 і 1000. Відповідно була влаштована і рахункова дошка ( абак ) З камінчиками. До речі, термін калькуляція (обчислення) походить від calculus - камінчик. Особливий дірявий камінчик позначав нуль.
Пізніше (починаючи з V століття до н. Е.) Замість аттичної нумерації була прийнята алфавітна - перші 9 букв грецького алфавіту позначали цифри від 1 до 9, наступні 9 букв - десятки, інші - сотні. Щоб не сплутати числа і букви, над числами малювали риску. Числа, більші 1000, записували позиційно, позначаючи додаткові розряди спеціальним штрихом (внизу зліва). Спеціальні позначки дозволяли зображати і числа, великі 10000.
В VI столітті до н. е. починається «грецьке диво»: з'являються відразу дві наукові школи - іонійці ( Фалес , Анаксимен , Анаксимандр ) і піфагорійці . Про досягнення ранніх грецьких математиків ми знаємо в основному за згадками пізніших авторів, переважно коментаторів Евкліда , Платона і Аристотеля .
Фалес , Багатий купець, добре вивчив вавилонську математику і астрономію - ймовірно, під час торгових поїздок. іонійці , За повідомленням Евдема Родоського , Дали перші докази декількох простих геометричних теорем - наприклад, про те, що вертикальні кути рівні [4] . Однак головна роль у справі створення античної математики належить піфагорійцям .
Піфагор , Засновник школи - особистість легендарна, і достовірність дійшли до нас відомостей про нього перевірити неможливо. Мабуть, він, як і Фалес, багато подорожував і теж навчався у єгипетських і вавилонських мудреців. Повернувшись близько 530 р. До н.е. е. в велику Грецію (Район південної Італії), він в місті Кротон заснував щось на кшталт таємного духовного ордена. Саме він висунув тезу «Числа правлять світом», і з винятковою енергією займався його обґрунтуванням. На початку V ст. до н. е., після невдалого політичного виступу, піфагорійці були вигнані з Південної Італії, і союз припинив своє існування, проте популярність вчення від розсіювання тільки зросла. Пифагорейские школи з'явилися в Афінах , На островах і в грецьких колоніях, а їх математичні знання, суворо оберігаються від сторонніх, стали загальним надбанням.
Багато досягнень, приписувані Піфагору, ймовірно, насправді є заслугою його учнів. піфагорійці займалися астрономією , геометрією , арифметикою (теорією чисел) , створили теорію музики . Піфагор перший з європейців зрозумів значення аксіоматичного методу, чітко виділяючи базові припущення ( аксіоми , Постулати) і дедуктивно виводяться з них теореми .
Геометрія піфагорійців в основному обмежувалася планіметрії (Судячи з дійшли до нас пізнішим працям, дуже повно викладеної) і завершувалася доказом « теореми Піфагора ». Хоча вивчалися і правильні багатогранники .
Була побудована математична теорія музики . залежність музичної гармонії від відносин цілих чисел (довжин струн) була сильним аргументом піфагорійців на користь споконвічної математичної гармонії світу, через 2000 років оспіваної Кеплером . Вони були впевнені, що «елементи чисел є елементами всіх речей ... і що весь світ в цілому є гармонією і числом» [5] . В основі всіх законів природи, вважали піфагорійці, лежить арифметика, і з її допомогою можна проникнути в усі таємниці світу. На відміну від геометрії, арифметика у них будувалася нема на аксіоматичної базі, властивості натуральних чисел вважалися самоочевидними, однак докази теорем і тут проводили неухильно. Поняття нуля і негативних чисел ще не виникли.
Піфагорійці далеко просунулися в теорії подільності , Але надмірно захопилися « трикутними »,« квадратними »,« досконалими »І т. П. Числами, яким, судячи з усього, надавали містичне значення. Мабуть, правила побудови « піфагорових трійок »Були відкриті вже тоді; вичерпні формули для них наводяться у Діофанта . теорія найбільших спільних дільників і найменших загальних кратних теж, мабуть, пифагорейского походження. Вони побудували загальну теорію дробів (що розуміються як відносини ( пропорції ), Так як одиниця вважалася неподільною), навчилися виконувати з дробами порівняння (приведенням до спільного знаменника) і всі 4 арифметичні операції. Піфагорійці знали, задовго до « почав » Евкліда , Розподіл цілих чисел із залишком і « алгоритм Евкліда »Для практичного знаходження найбільшого спільного дільника . безперервні дробу як самостійний об'єкт виділили тільки в Новий час, хоча їх неповні приватні природним шляхом виходять в алгоритмі Евкліда.
Першою тріщиною в піфагорейської моделі світу стало ними ж отримане доказ ірраціональності 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} 
Положення спробував врятувати талановитий піфагорієць Теєтет . Він (і пізніше Евдокс ) Запропонували нове розуміння числа, яке тепер формулювалися на геометричній мові, і проблем сумірності не виникало. Теєтет розробив також повну теорію подільності і класифікацію иррациональностей. Мабуть, йому також були відомі поняття простого числа і основна теорема арифметики [7] .
Згодом, уже в Новий час, з'ясувалося, що побудова числової алгебри на основі геометрії було стратегічною помилкою піфагорійців. Наприклад, з точки зору геометрії вираження x 2 + x {\ displaystyle x ^ {2} + x} 
Нумерологическая містика піфагорійців нерідко призводила до довільних і спекулятивним висновків. Наприклад, вони були впевнені в існуванні невидимою Антіземля, так як без неї число небесних сфер (нижнє небо, Сонце, Місяць і 6 планет) не складає досконалого числа 10. В цілому, не дивлячись на велику кількість містики і ексцентричних забобонів, заслуги піфагорійців у розвитку і систематизації античних математичних знань неоціненні.
В V столітті до н. е. з'явилися нові виклики оптимізму піфагорійців.
Перший з них - три класичні задачі давнини: подвоєння куба , трисекція кута і квадратура кола . Греки строго дотримувалися вимоги: всі геометричні побудови повинні виконуватися за допомогою циркуля і лінійки, тобто за допомогою досконалих ліній - прямих і кіл. Однак для перерахованих завдань знайти рішення канонічними методами не вдавалося. Алгебраїчно це означало, що не всяке число можна отримати за допомогою 4 арифметичних операцій і добування квадратного кореня.
квадратурою кола безуспішно займався видатний геометр-піфагорієць, автор доевклідових «Начал», першого зводу геометричних знань, Гіппократ Хиосский .
Перші два завдання зводяться до кубічним рівнянням . Архімед пізніше дав загальне рішення таких рівнянь за допомогою конічних перетинів , Проте багато коментаторів продовжували вважати подібні методи неприйнятними. Гіппій з Еліди ( V століття до н. е. ) Показав, що для трисекции кута корисна квадратріса (перша трансцендентна крива в історії математики); вона ж, до речі, вирішує і завдання квадратури кола ( Дінострат , IV століття до н. е.).
Крім перерахованих проблем, греки активно досліджували «завдання розподілу кола»: які правильні багатокутники можна побудувати циркулем і лінійкою. Без праці вдавалося розділити окружність на 3, 4, 5, 15 частин, а також подвоїти перераховані значення. Але побудувати циркулем і лінійкою семикутник нікому не вдалося. Як виявилося, тут також виходить кубічне рівняння. Повну теорію опублікував тільки Гаусс в XIX столітті.
Другий удар по піфагореїзму завдав Зенон Елейський , Запропонувавши ще одну тему для багатовікових роздумів математиків. Він висловив більше 40 парадоксів (апорії) , З яких найбільш відомі три апорії про рух. Всупереч багаторазовим спробам їх спростувати і навіть висміяти, вони, тим не менш, до цих пір служать предметом серйозного аналізу. У них порушені найделікатніші питання підстав математики - кінцівку і нескінченність , безперервність і дискретність . Математика тоді вважалася засобом пізнання реальності, і суть суперечок можна було висловити як неадекватність безперервною, нескінченно ділимо математичної моделі фізично дискретної матерії [8] .
В кінці V століття до н. е. жив ще один видатний мислитель - Демокріт . Він знаменитий не тільки створенням концепції атомів. Архімед писав, що Демокріт знайшов обсяг піраміди і конуса , Але доказів своїх формул не дав. Ймовірно, Архімед мав на увазі доказ методом вичерпування , Якого тоді ще не існувало.
Вже до початку IV століття до н. е. грецька математика далеко випередила всіх своїх вчителів, і її бурхливий розвиток тривало. В 389 році до н. е. Платон засновує в Афінах свою школу - знамениту Академію. Математиків, які приєдналися до Академії, можна розділити на дві групи: на тих, хто отримав свою математичну освіту поза Академії, і на учнів Академії. До числа перших належали Теєтет Афінський , архіт Тарентський і пізніше Евдокс Кнідський ; до числа другого - брати Менехм і Дінострат .
Сам Платон конкретних математичних досліджень не вів, але опублікував глибокі міркування по філософії і методології математики. А учень Платона, Аристотель , Залишив безцінні для нас записки з історії математики.
Евдокс Кнідський перший створив геоцентричну модель руху світил з 27 сферами. Пізніше ця конструкція була розвинена Аполлонием , Гиппархом і Птолемей , Які збільшили число сфер до 34 і ввели епіцикли. Йому ж належать два видатних відкриття: загальна теорія відносин (Геометрична модель дійсних чисел) і античний аналіз - метод вичерпання .
III століття до н. е. - Евклід, Архімед, Аполлоній [ правити | правити код ]
після завоювань Олександра Македонського науковим центром стародавнього світу стає Олександрія Єгипетська. Птолемей I заснував в ній Мусейон (Будинок Муз) і запросив туди найвизначніших вчених. Це була перша в грецькомовних світі державна академія, з багатющою бібліотекою (ядром якої послужила бібліотека Аристотеля), яка до I століття до н. е. налічувала 70000 томів.
Вчені Олександрії об'єднали обчислювальну потужність і древні знання вавилонських і єгипетських математиків з науковими моделями еллінів. Значно просунулися плоска і сферична тригонометрія, статика і гідростатика, оптика, музика та ін. Ератосфен уточнив довжину меридіана і винайшов свій знаменитий « решето ». В історії математики відомі три великих геометра давнини, і перш за все - Евклід з його « началами ». Тринадцять книг Почав - основа античної математики, результат її 300-річного розвитку та база для подальших досліджень. Вплив і авторитет цієї книги були величезні протягом двох тисяч років.
Фундамент математики, описаний Евклідом, розширив інший великий учений - Архімед , Один з небагатьох математиків античності, які однаково охоче займалися і теоретичної, і прикладної наукою. Він, зокрема, розвинувши метод вичерпання , Зумів обчислити площі і обсяги численних фігур і тіл, які раніше не піддавалися зусиллям математиків.
Останнім з трійки великих був Аполлоній Пергський , Автор глибокого дослідження конічних перетинів .
Після Аполлонія (зі II століття до н. е. ) В античній науці почався спад. Нових глибоких ідей не виникає. В 146 році до н. е. Рим захоплює Грецію, а в 31 році до н. е. - Олександрію.
Серед нечисленних досягнень:
Необхідно відзначити діяльність Паппа Олександрійського ( III століття ). Тільки завдяки йому до нас дійшли відомості про античних вчених і їхніх працях.
На тлі загального застою і занепаду різко виділяється гігантська фігура Діофанта - останнього з великих античних математиків, «батька алгебри».
після III століття н. е. Олександрійська школа проіснувала близько 100 років - прихід християнства і часті смути в імперії різко знизили інтерес до науки. Окремі вчені праці ще з'являються в Афінах, але в 529 році Юстиніан закрив Афінську академію як розсадник язичництва.
Частина вчених переїхала до Персії або Сирію і продовжувала праці там. Від них вцілілі скарби античного знання отримали вчені країн ісламу (див. Математика ісламського середньовіччя ).
Грецька математика вражає перш за все красою і багатством змісту. Багато вчених Нового часу відзначали, що мотиви своїх відкриттів почерпнули у древніх. Зачатки аналізу помітні у Архімеда, коріння алгебри - у Діофанта, аналітична геометрія - у Аполлонія і т. Д. Але головне навіть не в цьому. Два досягнення грецької математики далеко пережили своїх творців [9] .
Перше - греки побудували математику як цілісну науку з власною методологією, заснованої на чітко сформульованих законах логіки.
Друге - вони проголосили, що закони природи збагненні для людського розуму, і математичні моделі - ключ до їх пізнання.
У цих двох відносинах антична математика цілком сучасна.
- Башмакова І. Г. Лекції з історії математики в Стародавній Греції. // Історико-математичні дослідження . - М.: Физматгиз , 1958. - № 11. - С. 225-440.
- Ван дер Варден. Пробуджує наука. Математика стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції. М .: Физматгиз, 1959, 456 с.
- Вигодський М. Я. Арифметика і алгебра в стародавньому світі. М., 1967.
- Глейзер Г. І. Історія математики в школі . - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.
- Депман І. Я. Історія арифметики. Посібник для вчителів. Ізд.второе. М .: Просвещение, 1965.
- Історія математики / Під редакцією А. П. Юшкевича , В трьох томах. - М.: наука , 1970. - Т. I.
- Клайн М. Математика. Втрата визначеності. М., Мир, 1984.
- Нейгебауер О. Точні науки в давнину. М., 1968.
- Розенфельд Б. А. Аполлоній Пергський. (2004)
- Рибников К. А. Історія математики. М., 1994.
- Хрестоматія з історії математики. Арифметика і алгебра. Теорія чисел. Геометрія. Під ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
- ↑ Петров Ю. П. Історія і філософія науки. Математика, обчислювальна техніка, інформатика. СПб .: БХВ-Петербург, 2005. ISBN 5-94157-689-7 , 448 с., Стор. 9.
- ↑ Башмакова І. Г., 1958 , С. 232 ..
- ↑ Шмутцер Е., Шютц В. Галілео Галілей. - М.: Мир, 1987. - С. 116. - 140 с.
- ↑ Башмакова І. Г., 1958 , С. 240 ..
- ↑ Аристотель. Метафізика. Переклад і примітки А. В. Кубіцького. М.-Л., 1934, стор. 26-27.
- ↑ Аристотель. Метафізика. Переклад і примітки А. В. Кубіцького. М.-Л., 1934, стор. 22.
- ↑ Башмакова І. Г., 1958 , С. 260 ..
- ↑ Див. Докладніше Апорії Зенона # Сучасне трактування .
- ↑ Башмакова І. Г., 1958 , С. 436-437 ..
