Криві другого порядку

1. Еліпс, гіпербола і парабола [ правити ]
2. Аналітичні визначення коник [ правити ]
3. гіпербола [ правити ]
4. парабола [ правити ]
5. Загальна теорія кривих другого порядку [ правити ]
6. Інваріанти многочлена другого ступеня [ правити ]

Криві другого порядку - криві, які задаються в деякій аффинной системі координат на площині рівнянням другого ступеня:

Еліпс, гіпербола і парабола [ правити ]

Геометричне визначення [ правити ]

еліпсом називають геометричне місце точок X {\ displaystyle X} , Для яких сума відстаней до двох заданих точок F 1 {\ displaystyle F_ {1}} і F 2 {\ displaystyle F_ {2}} (званих фокусами) дорівнює заданому числу, більшому, ніж відстань між фокусами.

гіперболою називають геометричне місце точок X {\ displaystyle X} , Для яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок F 1 {\ displaystyle F_ {1}} і F 2 {\ displaystyle F_ {2}} (також званих фокусами) дорівнює заданому числу, меншому, ніж відстань між фокусами.

параболою називають геометричне місце точок X {\ displaystyle X} , Рівновіддалених від даної точки F {\ displaystyle F} (званої фокусом) і прямий d {\ displaystyle d} (званої директоркою).

Тут ρ (X, d) {\ displaystyle \ varrho (X, d)} - функція, що обчислює відстань від точки до прямої.

Теорема. Перетин прямого кругового нескінченного в обидві сторони конуса площиною, що не проходить через вершину, є або еліпсом, або гіперболою, або параболою. При цьому, зазначена площину може розташовуватися трьома способами:

1. перетинати одну половину конуса, в цьому випадку виходить еліпс;
2. перетинати обидві половини конуса, в цьому випадку виходить гіпербола;
3. бути паралельною утворює конуса, в цьому випадку виходить парабола.

Доведення. Для доказу будемо використовувати кулі данделена - кулі, вписані в конус і стосуються площині. введемо позначення

Розглянемо кожен випадок окремо.

Еліпс. Дотичні, проведені до кулі з однієї точки, рівні, тому

Таким чином, перетин c {\ displaystyle c} за визначенням є еліпсом.

Гіпербола. Дотичні, проведені до кулі з однієї точки, рівні, тому

Таким чином, перетин c {\ displaystyle c} за визначенням є гіперболою.

Парабола. В цьому випадку куля Данделі один. Нехай π 1 {\ displaystyle \ pi _ {1}} - площина, яка містить окружність c 1 {\ displaystyle c_ {1}} , Пряма d {\ displaystyle d} - перетин площин π {\ displaystyle \ pi} і π 1 {\ displaystyle \ pi _ {1}} , Точка Y {\ displaystyle Y} - прямокутна проекція точки X {\ displaystyle X} на пряму d {\ displaystyle d} , Точка Y 1 {\ displaystyle Y_ {1}} - точка перетину S X {\ displaystyle SX} з c 1 {\ displaystyle c_ {1}} .

S Y 1 {\ displaystyle SY_ {1}} нахилена до площини π 1 {\ displaystyle \ pi _ {1}} під кутом π 2 - α {\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}} - \ alpha} , Де α {\ displaystyle \ alpha} - кут між твірною конуса і його віссю. З іншого боку, X Y {\ displaystyle XY} паралельна тій утворює конуса, яка паралельна площина π {\ displaystyle \ pi} . Значить, вона утворює з площиною π 1 {\ displaystyle \ pi _ {1}} також кут π 2 - α {\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}} - \ alpha} . Значить, | X Y 1 | = | X Y | {\ Displaystyle | XY_ {1} | = | XY |} як похилі площини π 1 {\ displaystyle \ pi _ {1}} під одним кутом.

Дотичні, проведені до кулі з однієї точки, рівні, тому | X F 1 | = | X Y 1 | {\ Displaystyle | XF_ {1} | = | XY_ {1} |} .

Таким чином, перетин c {\ displaystyle c} за визначенням є параболою. ◻ {\ displaystyle \ Box}

Відповідно до цієї теоремою еліпс, гіперболу і параболу називають кониками.

Аналітичні визначення коник [ правити ]

еліпс [ правити ]

Введемо прямокутну систему координат як показано на малюнку.

Тоді геометричне визначення перепишеться у вигляді

Таким чином, координати точок еліпса задовольняють рівняння (1).

Протилежне твердження. Нехай координати точки (x, y) {\ displaystyle (x, y)} задовольняють рівняння (1), тобто

Тоді відстань від цієї точки до першого фокуса

Вираз під знаком модуля позитивно, так як | x | ≤ a ⇒ | c a x | ≤ c <a {\ displaystyle | x | \ leq a \ Rightarrow \ left | {\ tfrac {c} {a}} x \ right | \ leq c <a} .

Аналогічно, | r 2 | = A - c a x {\ displaystyle | \ mathbf {r} _ {2} | = a - {\ frac {c} {a}} x} .

таким чином, точки, що задовольняють рівняння (1), належать еліпсу.

Рівняння (1) називають канонічним рівнянням еліпса.

гіпербола [ правити ]

Введемо прямокутну систему координат як показано на малюнку.

Тоді, аналогічно еліпсу, спрощуючи геометричне визначення, отримаємо

Таким чином, координати точок гіперболи задовольняють рівняння (2).

Для доказу зворотного затвердження проведемо міркування, аналогічні нагоди еліпса і отримаємо

При x> 0 {\ displaystyle x> 0}

При x <0 {\ displaystyle x <0}

Таким чином, точки, що задовольняють рівняння (2), належать гіперболі.

парабола [ правити ]

Введемо прямокутну систему координат як показано на малюнку. Позначимо відстань від фокуса до директриси p {\ displaystyle p} .

Тоді геометричне визначення набуде вигляду

Таким чином, координати точок параболи задовольняють рівняння (3).

Зворотне міркування. Позначимо через d {\ displaystyle d} пряму y = - p / 2 {\ displaystyle y = -p / 2} , А через F {\ displaystyle F} - точку (p / 2, 0) {\ displaystyle (p / 2,0)} . Для довільної точки X (x, y) {\ displaystyle X (x, y)} кривої y 2 = 2 p x {\ displaystyle y ^ {2} = 2px} маємо

Остання рівність вірно, так як x = y 2/2 p ≥ 0 {\ displaystyle x = y ^ {2} / {2p} \ geq 0} .

Оскільки для точок, що задовольняють рівняння (3), відстань до точки F {\ displaystyle F} дорівнює відстані до прямої d {\ displaystyle d} , То це рівняння описує параболу.

Рівняння (3) називають канонічним рівнянням параболи.

Загальна теорія кривих другого порядку [ правити ]

Канонічні рівняння [ правити ]

Криві другого порядку задаються в деякій аффинной системі координат рівнянням

Це рівняння можна перетворити до матричних увазі

Теорема. Для будь-якої кривої існує прямокутна система координат, в якій вона має один з наступних видів (званих канонічними рівняннями):

1. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} } = 1} , Еліпс;
2. x 2 a 2 + y 2 b 2 = - 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} }} = - 1} , Уявний еліпс;
3. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 0 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} } = 0} , Пара пересічних уявних прямих;
4. x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} } = 1} , Гіпербола;
5. x 2 a 2 - y 2 b 2 = 0 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} } = 0} , Пара пересічних прямих;
6. y 2 = 2 p x {\ displaystyle y ^ {2} = 2px} , Парабола;
7. y 2 - a 2 = 0, a> 0 {\ displaystyle y ^ {2} -a ^ {2} = 0, \ quad a> 0} , Пара паралельних прямих;
8. y 2 + a 2 = 0, a> 0 {\ displaystyle y ^ {2} + a ^ {2} = 0, \ quad a> 0} , Пара паралельних уявних прямих;
9. y 2 = 0 {\ displaystyle y ^ {2} = 0} , Пара співпадаючих прямих.

Доведення. Для доказу покажемо як привести загальне рівняння (4) кривої до канонічного вигляду.

Лемма. Відповідним поворотом осей координат можна домогтися того, що a 12 '= 0 {\ displaystyle a' _ {12} = 0} . Штрих означає коефіцієнт рівняння в новій системі координат.

Доказ (леми). Якщо a 12 = 0 {\ displaystyle a_ {12} = 0} , Поворот не потрібно. В іншому випадку, розглянемо довільний поворот

тоді

Після розкриття дужок і приведення подібних доданків можна знайти коефіцієнт при 2 x 'y' {\ displaystyle 2x'y '} , Тобто a 12 '{\ displaystyle a' _ {12}} :

Оскільки a 12 ≠ 0 {\ displaystyle a_ {12} \ neq 0} , То завдання можна вирішити. У поверненою системі координат рівняння кривої набуде вигляду

Лемма. Многочлен виду (*) паралельним перенесенням приводиться до одного з наступних видів:

1. F "= λ 1 (x") 2 + λ 2 (y ") 2 + τ (λ 1, λ 2 ≠ 0) {\ displaystyle F '' = \ lambda _ {1} (x '') ^ {2 } + \ lambda _ {2} (y '') ^ {2} + \ tau \ qquad (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ neq 0)}
2. F "= λ 2 (y") 2 + 2 b 1 x "(λ 2, b 1 ≠ 0) {\ displaystyle F '' = \ lambda _ {2} (y '') ^ {2} + 2b_ { 1} x '' \ qquad (\ lambda _ {2}, b_ {1} \ neq 0)}
3. F "= λ 2 (y") 2 + τ (λ 2 ≠ 0) {\ displaystyle F '' = \ lambda _ {2} (y '') ^ {2} + \ tau \ qquad (\ lambda _ { 2} \ neq 0)}

Доказ (леми). 1 λ 1, λ 2 ≠ 0 {\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ neq 0} . Виділяємо повні квадрати:

де x "= x '+ b 1 λ 1, y" = y' + b 2 λ 2 {\ displaystyle x '' = x '+ {\ frac {b_ {1}} {\ lambda _ {1}}} , y '' = y '+ {\ frac {b_ {2}} {\ lambda _ {2}}}} - формули заміни координат, зворотної до шуканої.

2 λ 1 = 0, λ 2 ≠ 0 {\ displaystyle \ lambda _ {1} = 0, \ lambda _ {2} \ neq 0} (Якщо λ 2 = 0, λ 1 ≠ 0 {\ displaystyle \ lambda _ {2} = 0, \ lambda _ {1} \ neq 0} , То поміняємо координати місцями). Можливі два випадки.

а) b 1 ≠ 0 {\ displaystyle b_ {1} \ neq 0}

де x "= x '+ 1 2 b 1 (b 0 - b 2 2 λ 2), y" = y' + b 2 λ 2 {\ displaystyle x '' = x '+ {\ frac {1} {2b_ {1}}} \ left (b_ {0} - {\ frac {b_ {2} ^ {2}} {\ lambda _ {2}}} \ right), y '' = y '+ {\ frac { b_ {2}} {\ lambda _ {2}}}} - формули заміни координат, зворотної до шуканої.

б) b 1 = 0 {\ displaystyle b_ {1} = 0}

де x "= x ', y" = y' + b 2 λ 2 {\ displaystyle x '' = x ', y' '= y' + {\ frac {b_ {2}} {\ lambda _ {2} }}} - формули заміни координат, зворотної до шуканої. Лема доведена. ◻ {\ displaystyle {} ^ {\ Box}}

Повернемося до доведення теореми. Відповідно до останньої леми будь-яке рівняння другого порядку можна звести до одного з трьох зазначених в ній випадках. Розглянемо кожен з них

1. F "= λ 1 (x") 2 + λ 2 (y ") 2 + τ (λ 1, λ 2 ≠ 0) {\ displaystyle F '' = \ lambda _ {1} (x '') ^ {2 } + \ lambda _ {2} (y '') ^ {2} + \ tau \ qquad (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ neq 0)}
   1. λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}} і λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}} одного знака, τ {\ displaystyle \ tau} - протилежної. Розподілом на λ 1 λ 2 τ {\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ tau} отримуємо рівняння еліпса.
   2. λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}} , Λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}} і τ {\ displaystyle \ tau} одного знака. Розподілом на λ 1 λ 2 τ {\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ tau} отримуємо рівняння мнимого еліпса.
   3. λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}} і λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}} одного знака, τ = 0 {\ displaystyle \ tau = 0} . Розподілом на λ 1 λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} отримуємо рівняння пари пересічних уявних прямих.
   4. λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}} і λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}} різних знаків, τ ≠ 0 {\ displaystyle \ tau \ neq 0} . Розподілом на | λ 1 λ 2 τ | {\ Displaystyle | \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ tau |} отримуємо рівняння гіперболи.
   5. λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}} і λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}} різних знаків, τ = 0 {\ displaystyle \ tau = 0} . Розподілом на λ 1 λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} отримуємо рівняння пари пересічних прямих.
2. F "= λ 2 (y") 2 + 2 b 1 x "(λ 2, b 1 ≠ 0) {\ displaystyle F '' = \ lambda _ {2} (y '') ^ {2} + 2b_ { 1} x '' \ qquad (\ lambda _ {2}, b_ {1} \ neq 0)}
   1. Розподілом на λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}} отримуємо рівняння параболи.
3. F "= λ 2 (y") 2 + τ (λ 2 ≠ 0) {\ displaystyle F '' = \ lambda _ {2} (y '') ^ {2} + \ tau \ qquad (\ lambda _ { 2} \ neq 0)}
   1. τ <0 {\ displaystyle \ tau <0} . Рівняння пари паралельних прямих.
   2. τ> 0 {\ displaystyle \ tau> 0} . Рівняння пари паралельних уявних прямих.
   3. τ = 0 {\ displaystyle \ tau = 0} . Рівняння пари однакових прямих.

Таким чином, теорема доведена. ◻ {\ displaystyle \ Box}

Інваріанти многочлена другого ступеня [ правити ]

Ортогональним інваріантом називається функція від коефіцієнтів многочлена F {\ displaystyle F} , Яка не змінюється при переході від однієї прямокутної системи координат до іншої.

Ортогональними інваріантами є наступні три функції:

1. S = a 11 + a 22 {\ displaystyle S = a_ {11} + a_ {22}}
2. δ = a 11 a 22 - a 12 2 {\ displaystyle \ delta = a_ {11} a_ {22} -a_ {12} ^ {2}}
3. Δ = | [A 11 a 12 a 1 a 12 a 22 a 2 a 1 a 2 a 0] | {\ Displaystyle \ Delta = \ left | {\ begin {bmatrix} a_ {11} \ a_ {12} \ a_ {1} \\ a_ {12} \ a_ {22} \ a_ {2} \\ a_ {1 } \ a_ {2} \ a_ {0} \ end {bmatrix}} \ right |}

Характеристичним многочленом називається многочлен χ = | [A 11 - λ a 12 a 12 a 22 - λ] | {\ Displaystyle \ chi = \ left | {\ begin {bmatrix} a_ {11} - \ lambda \ a_ {12} \\ a_ {12} \ a_ {22} - \ lambda \ end {bmatrix}} \ right | } . Можна показати, що χ = λ 2 - S λ + δ {\ displaystyle \ chi = \ lambda ^ {2} -S \ lambda + \ delta} .

При доведенні теореми про приведення до канонічного вигляду було показано, що будь-яке рівняння другого порядку можна привести до одного з трьох видів. Оскільки при цьому застосовувалися тільки ортогональні перетворення, то інваріанти збереглися. Складемо таблицю значень інваріантів для різних видів:

Очевидно, тип рівняння другого порядку визначається значенням інваріантів:

1. δ ≠ 0 {\ displaystyle \ delta \ neq 0}
2. δ = 0, Δ ≠ 0 {\ displaystyle \ delta = 0, \ Delta \ neq 0}
3. δ = 0, Δ = 0, S ≠ 0 {\ displaystyle \ delta = 0, \ Delta = 0, S \ neq 0}

Розглянемо як визначити значення коефіцієнтів λ 1, λ 2, b 1, τ {\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, b_ {1}, \ tau} в різних випадках.

1) По теоремі Вієта коефіцієнти λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}} і λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}} задовольняють рівняння λ 2 - S λ + δ = 0 {\ displaystyle \ lambda ^ {2} -S \ lambda + \ delta = 0} , Яке збігається з характерестіческім рівнянням. Таким чином, коефіцієнти λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}} і λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}} знаходяться як корені рівняння χ = 0 {\ displaystyle \ chi = 0} , А τ = Δ / δ {\ displaystyle \ tau = \ Delta / \ delta} .

2) Очевидно, λ 2 = S, b 1 = ± - Δ / S {\ displaystyle \ lambda _ {2} = S, b_ {1} = \ pm {\ sqrt {- \ Delta / S}}} , При цьому знак для b 1 {\ displaystyle b_ {1}} вибирають так, щоб b 1 λ <0 {\ displaystyle b_ {1} \ lambda <0} .

3) Очевидно, λ 2 = S {\ displaystyle \ lambda _ {2} = S} , Але обчислити τ {\ displaystyle \ tau} через інваріанти неможливо. У цьому випадку використовують так званий «семіваріант», який визначається формулою K = | [A 11 a 1 a 1 a 0] | + | [A 22 a 2 a 2 a 0] | {\ Displaystyle K = \ left | {\ begin {bmatrix} a_ {11} \ a_ {1} \\ a_ {1} \ a_ {0} \ end {bmatrix}} \ right | + \ left | {\ begin {bmatrix} a_ {22} \ a_ {2} \\ a_ {2} \ a_ {0} \ end {bmatrix}} \ right |} .

Можна показати, що K {\ displaystyle K} є інваріантом при δ = Δ = 0 {\ displaystyle \ delta = \ Delta = 0} і τ = K / S {\ displaystyle \ tau = K / S}

Розглянемо які значення приймають інваріанти в залежності від одного з дев'яти типів кривих.

1. Еліпс. δ> 0, S Δ <0 {\ displaystyle \ delta> 0, S \ Delta <0} .
2. Уявний еліпс. δ> 0, S Δ> 0 {\ displaystyle \ delta> 0, S \ Delta> 0} .
3. Пара пересічних уявних прямих. δ> 0, Δ = 0 {\ displaystyle \ delta> 0, \ Delta = 0} .
4. Гіпербола. δ <0, Δ ≠ 0 {\ displaystyle \ delta <0, \ Delta \ neq 0} .
5. Пара пересічних прямих. δ <0, Δ = 0 {\ displaystyle \ delta <0, \ Delta = 0} .
6. Парабола. δ = 0, Δ ≠ 0 {\ displaystyle \ delta = 0, \ Delta \ neq 0} .
7. Пара паралельних прямих. δ = Δ = 0, K <0 {\ displaystyle \ delta = \ Delta = 0, K <0} .
8. Пара паралельних уявних прямих. δ = Δ = 0, K> 0 {\ displaystyle \ delta = \ Delta = 0, K> 0} .
9. Пара співпадаючих прямих. δ = Δ = 0, K = 0 {\ displaystyle \ delta = \ Delta = 0, K = 0} .