Історія виникнення і значення неевклідової геометрії в сучасній науці

МКОУ ВАШУТІНСКАЯ ОСНОВНА загальноосвітня школа

Історія виникнення і значення неевклідової геометрії в сучасній науці

Роботу по геометрії виконала:

учениця 9 класу

Шмирова Ірина

Координатор роботи:

Вчитель математики

Сєдих Олена Валеріївна

2013 рік

Зміст.

1.Вступ ........................................................................ 3

2.История створення нової геометрії ..................................... 4

3. Неевклидова геометрія ................................................... 8

4.Отзиви і докази ................................................. 11

4. Значення неевклідової геометрії .................................... 15

5. Висновок ................................................................... 16

6.Іспользуемая література ................................................. 18

7.Словарь термінів ......................................................... ... 19

Вступ

Той шлях, на який вперше став Лобачевський, в значній мірі визначив обличчя сучасної науки, викликав справжню революцію в математиці.

«Ідеї нашого геніального співвітчизника, які здавалися неприпустимим парадоксом, тепер широко розвинені і узагальнені, є одним з наріжних каменів сучасної науки» - писав видатний радянський геометр, професор П.К. Рашевський [1].

Відкриття неевклідової геометрії зробило переворот не тільки в геометрії і навіть не тільки в математиці, але можна сказати, в розвитку людського мислення взагалі. І те, що евклідова геометрія не є єдино можливою, зроблене на початку минулого століття Гауссом, Лобачевским і Больяи, вплинуло на світогляд людства. Однак мало кому відомо, що починаючи з кінця минулого століття неевклидова геометрія, поряд з евклідової, є одним з робочих інструментів математики, незважаючи на те що "простір, в якому ми живемо", в доступних нашому розумінню межах є скоріше евклідовим, ніж неевклідовим [ 2].

Характер математичних теорій такий, що по-різному представляючи основні поняття цих теорій, в геометрії, наприклад, це точки, прямі, руху і т.д., ми можемо застосовувати їх до об'єктів різного роду. Тому, і геометрія може застосовуватися не тільки до простору, в якому ми живемо, а й до інших просторів, які виникають в математичних і фізичних теоріях. Геометрії цих просторів виявляються різними; зокрема, вони можуть не бути Евклідовому.

Мета роботи: встановити, що послужило створення неевклідової геометрії. Гіпотеза: розвиток науки було на такому етапі, що неможливо було не прийти до створення неевклідової геометрії.

I.Історія створення нової геометрії

Першим неевклідовим геометром, ймовірно, можна вважати самого Евкліда (рис.1). Його небажання використовувати «не самоочевидне» п'ятий постулат випливає хоча б з того, що свої перші двадцять вісім пропозицій Евклід доводить, не вдаючись до цього постулату. З першого століття до н.е. до 1820 року математики намагалися вивести п'ятий постулат з інших, але досягли успіху лише в заміні його різними еквівалентними припущеннями, такими, як «дві паралельні лінії всюди однаково віддалені один від одного» або «будь-які три точки, що не розташовані на одній прямій, належать окружності» .

Малюнок 1. Евклід

Лобачевський в роботі «Про основи геометрії» (1829 рік), першої його друкованої роботі по неевклідової геометрії, ясно заявив, що V постулат не може бути доведений на основі інших посилок евклідової геометрії, і що припущення постулату, протилежного постулату Евкліда, дозволяє побудувати геометрію настільки ж змістовну, як і евклидова, і вільну від протиріч [1].

Одночасно і незалежно до аналогічних висновків дійшов Янош Бойяи (рис.2), а Карл Фрідріх Гаус (рис.3) прийшов до таких висновків ще раніше.

Малюнок 2. Янош Бойяи

Однак праці Бойяи залучили уваги, і він незабаром залишив цю тему, а Гаусс взагалі утримувався від публікацій, і про його погляди можна судити лише по декілька листів і щоденникових записів.

Малюнок 3. Карл Фрідріх Гаус

Збереглися студентські записи лекцій Лобачевського (від 1817 року), де їм робилася спроба довести п'ятий постулат Евкліда, але в рукопису підручника «Геометрія» (1823 рік) він уже відмовився від цієї спроби. В «Огляді викладання чистої математики» за тисяча вісімсот двадцять дві і 1824 роки Лобачевський вказав на «до цих пір непереможну» трудність проблеми паралелізму і на необхідність приймати в геометрії в якості вихідних поняття, безпосередньо набувають з природи.

23 лютого 1826 року геніальний математик читає свою доповідь про неевклідової геометрії нічого не розуміє, що нудьгує, байдужою аудиторії. Комісія, нічого не зрозуміла, не дає ніякого відгуку. Робота не була надрукована. І тільки в 1829 році були опубліковані мемуари «Про початки геометрії» - перша робота по неевклідової геометрії. Роботу не зрозуміли.

З Академії наук прийшов знищує відгук, з'являються статті, де Лобачевського називають провінційним шарлатаном, неосвіченим самовдоволеним нікчемою. Автори цих відгуків спиралися на те, що все, що викладено паном Лобачевским (рис.4) в своїх працях не має місця в природі і, тому, абсолютно для розуму незрозуміло і абсурдно. Лобачевського ніхто не підтримав, але у нього вистачило мужності відстоювати свої ідеї до кінця.

Малюнок 4. Лобачевський Микола Іванович

Не знайшовши розуміння на Батьківщині, Лобачевський спробував знайти однодумців за кордоном. У 1837 році стаття Лобачевського «Уявна геометрія» французькою мовою (Géométrieimaginaire) з'явилася в авторитетному берлінському журналі Крелль, а в 1840 році Лобачевський опублікував німецькою мовою невелику книгу «Геометричні дослідження з теорії паралельних», де міститься чітке і систематичний виклад його основних ідей . Два примірника отримав Карл Фрідріх Гаус, «король математиків» тих часів. Як багато пізніше з'ясувалося, Гаус і сам потайки розвивав неевклідову геометрію, проте так і не зважився опублікувати що-небудь на цю тему [1].

П'ятий постулат Евкліда став свого роду поштовхом до створення іншої геометрії, або продовженням геометрії Евкліда. Одночасно вчені багатьох країн прийшли до одних і тих самих висновків. Однак одних вчених не зрозуміли, як Лобачевського, інші боялися опублікувати свою працю.

Творцями неевклідової геометрії стали такі яскраві вчені, як сам Евклід, Гаусс, Бойяи, Лобачевський. У деяких вчених відкриття в неевклідової геометрії відбувалися одночасно, незалежно один від одного.

II.Неевклідова геометрія

Лобачевський вважав аксіому паралельності Евкліда довільним обмеженням. З його точки зору, це вимога занадто жорстке, що обмежує можливості теорії, що описує властивості простору, і тому в створенні неевклідової геометрії він використовував площинні постулати Евкліда як приватний, граничний випадок і відмовився від V постулату, прийнявши незалежність аксіоми про паралельні прямі Евкліда від інших аксіом .

Замість V постулату він приймає протилежне пропозицію: на площині через точку, що не лежить на даній прямій, проходить більше ніж одна пряма, не яка перетинає дану. Разом з цією пропозицією Лобачевський приймає інші аксіоми евклідової геометрії і на цій підставі будує нову геометрію. Отримана геометрія логічно струнка, ніде протиріч не зустрічається. Лобачевський називає її «уявної».

Через точку С, що лежить поза прямою АВ, можна, припустив Лобачевський, провести хоча б дві прямі а і b, що не перетнуться з прямою АВ (рис.5). Точно так само не перетинають пряму АВ і прямі m, n, p, що проходять через точку С. [4].

Малюнок 5. Пропозиція, протилежне V постулату Евкліда.

Сума кутів трикутника в «уявної геометрії» завжди меньше180 про (рис.6).

Малюнок 6. Трикутник в геометрії Лобачевського.

У площині Лобачевського не існує жодної подоби. Адже все теореми про подібність виводяться тільки за допомогою аксіоми Евкліда про паралельність. Н.І. Лобачевський встановив, що на граничній поверхні, званої орисфере, внутрішня геометрія є евклідової.

Розроблена Лобачевским нова геометрія не включає в себе евклидову геометрію, проте евклідова геометрія може бути з неї отримано граничним переходом (при прагненні кривизни простору до нуля). У самій геометрії Лобачевського кривизна негативна. Уже в першій публікації Лобачевський детально розробив тригонометрію неевклидова простору, диференціальну геометрію (включаючи обчислення довжин, площ і обсягів) і суміжні аналітичні питання.

В геометрії Н.І. Лобачевського використовуються основні поняття Евкліда: перпендикуляри, осьові симетрії і повороти. У ній зберігаються властивості рівнобедреного трикутника, відомі ознаки рівності трикутників і інші елементи «абсолютної геометрії» [2].

У просторі Лобачевського були виділені криволінійні геометричні образи, підлеглі геометрії Евкліда. Цей чудовий результат Лобачевський використовував для виведення тригонометричних співвідношень між елементами прямолінійних трикутників в його просторі. Але підсумкові співвідношення набагато складніше евклідових. Ці співвідношення мають не тільки тригонометричні функції кутів, не просто довжини сторін, а деякі функції від них [4].

Зробивши свою знамениту відкриття, Н. І. Лобачевський не спростував евклидову геометрію, а лише розсунув кордони науки, що існувала в Стародавньому світі. Будь-які факти планіметрії Лобачевського не суперечать геометрії Евкліда. Однак створена геометрія істотно відрізняється від колишньої. Лобачевський, очевидно, хотів підкреслити протиріччя V постулату: на площині через точку, що лежить поза даною прямою, проходить більше однієї прямої, що не перетинає дану. І тим самим замінив евклидов постулат більш загальної аксіомою паралельності і зберіг всі міркування геометрії Евкліда.

III. Відгуки та докази

В останні роки життя Лобачевський безуспішно намагався довести несуперечність своєї геометрії.

Щоб отримати такий доказ, треба було побудувати модель геометрії. У 1868 році (через 12 років після смерті Лобачевського) італійський вчений Е. Бельтрамі досліджував увігнуту поверхню звану псевдосферу і довів, що на цій поверхні діє геометрія Лобачевського (рис.7). [5].

У 1868р. Італійський математик Е. Бельтрамі досліджував увігнуту поверхню, яка називається псевдосферу, і довів, що на цій поверхні діє геометрія Лобачевського.

Малюнок 7. Псевдосфера

А через 2 роки німецький математик Клейн пропонує іншу модель площині Лобачевського (рис.8).

Клейн бере деякий круг. «Площиною» Клейн називає внутрішність круга. Далі, кожну хорду кола (без кінців, оскільки беруться тільки внутрішні точки кола) Клейн вважає «прямий». Тепер в цій «площині» можна розглядати відрізки, трикутники і т. Д. Дві фігури називаються «рівними», якщо одна з них може бути переведена в іншу деяким рухом. Тим самим введені всі поняття, що згадуються в аксіомах геометрії, і можна проводити перевірку виконання аксіом в цій моделі. Наприклад, очевидно, що через будь-які дві точки А, В проходить єдина «пряма». Можна простежити також, що через точку А, що не належить «прямої» а, проходить нескінченно багато «прямих», що не перетинають а. Подальша перевірка показує, що в моделі Клейна виконуються і всі інші аксіоми геометрії Лобачевського [4]

Малюнок 8. Модель Клейна.

Ще одна модель геометрії Лобачевського була запропонована французьким математиком А. Пуанкаре (1854-1912). Він також розглядає внутрішність деякого кола. «Прямими» він вважає дуги кіл, які в точках перетину з кордоном кола стосуються радіусів (рис.9) [1].

Малюнок 9. Модель Пуанкаре.

В кінці минулого століття в роботах Пуанкаре і Клейна була встановлена ​​пряма зв'язок геометрії Лобачевського з теорією функцій комплексної змінної і з теорією чисел (точніше, арифметикою невизначених квадратичних форм). З тих пір апарат геометрії Лобачевського став невід'ємним компонентом цих розділів математики. В останні 15 років значення геометрії Лобачевського ще більше зросла завдяки роботам американського математика Терстона (лауреата Філдсовської медалі 1983 г.), який встановив її зв'язок з топологією тривимірних многовидів (рис.10). Десятки робіт щорічно публікуються в цій області. У зв'язку з цим можна говорити про кінець романтичного періоду в історії геометрії Лобачевського, коли основна увага дослідників була звернена на її осмислення з точки зору підстав геометрії взагалі. Сучасні дослідження все більше вимагають ділового володіння геометрією Лобачевського [2].

Малюнок 10. Вільям Паул Терстон

Важливе зауваження, що стосується креслень, що зображують поведінку прямих на площині Лобачевського. Як показують досліди, наше фізичне простір за властивостями або евклидово, або дуже мало від нього відрізняється. Оперуючи з кресленням, змушені обмежитися його малим розміром, а відхилення від Евклідовому, якщо воно існує, буде спостерігатися тільки при дуже великій відстані. Тому для наочності зазвичай прийнято зображати прямі, злегка їх викривляючи, щоб виразніше висловити характер їх зближення або розбіжності на площині Лобачевського. Однак Лобачевський такі вольності собі не дозволяв [4].

Скільки часу потрібно було вченим, щоб перевірити на різних моделях: псевдосфері Клейна, модель Пуанкаре, тривимірні різноманіття математика Терстона, що геометрія Лобачевського діє? Які сумніви виникали у самого Лобачевського в правильності його ідей ?! Але саме елементи геометрії Лобачевського стали основою таких розділів математики, як теорія чисел і теорія функцій комплексної змінної та багатьох інших.

IV. Значення неевклідової геометрії

Нова геометрія з'явилася чистим породженням розуму, що відокремилася від навколишньої дійсності. Тому Лобачевський назвав її «уявної». Поява неевклідової геометрії було важливим кроком у перетворенні математики в науку про логічно мислимих формах і відносинах. Цей процес йшов по всьому фронту не тільки в геометрії, а й в алгебрі. З'явилися теорія множин, математична логіка. В геометрії незабаром за геометрією Лобачевського з'явилася багатовимірна евклідова геометрія [2].

Лобачевський був названий «Коперником геометрії», але його можна назвати і Колумбом науки, який відкрив нову її область, за якою слідував материк нової геометрії і взагалі нової математики. Той шлях, на який вперше став Лобачевський, в значній мірі визначив обличчя сучасної науки.

Відкриття нової геометрії стало початком численних досліджень видатних математиків 19 століття. Геометрія послужила поштовхом до розвитку науки, а значить і розуміння світу, який на оточує.

А на початку 20-говека було виявлено, що геометрія Лобачевського абсолютно необхідна в сучасній фізиці. Наприклад, в теорії відносності Ейнштейна, в розрахунках сучасних синхрофазотронів, в космонавтиці.

V. Висновок

Творцями неевклідової геометрії стали такі яскраві вчені, як сам Евклід, Гаусс, Бойяи, Лобачевський. Евклід робив спроби довести п'ятий постулат, але у нього не виходило. У деяких вчених відкриття в неевклідової геометрії відбувалися одночасно, незалежно один від одного.

Н. І. Лобачевський розсунув кордони науки, що існувала на той момент. Будь-які факти планіметрії Лобачевського не суперечать геометрії Евкліда. Однак створена геометрія істотно відрізняється від колишньої. Лобачевський, очевидно, хотів підкреслити протиріччя V постулату: на площині через точку, що лежить поза даною прямою, проходить більше однієї прямої, що не перетинає дану. І тим самим замінив евклидов постулат більш загальної аксіомою паралельності і зберіг всі міркування геометрії Евкліда.

Багато часу знадобилося вченим, щоб перевірити на різних моделях: псевдосфері Клейна, модель Пуанкаре, тривимірні різноманіття математика Терстона, що геометрія Лобачевського діє? Які сумніви виникали у самого Лобачевського в правильності його ідей ?! Але саме елементи геометрії Лобачевського стали основою таких розділів математики, як теорія чисел і теорія функцій комплексної змінної та багатьох інших.

Лобачевський був названий «Коперником геометрії», але його можна назвати і Колумбом науки, який відкрив нову її область, за якою слідував материк нової геометрії і взагалі нової математики. Той шлях, на який вперше став Лобачевський, в значній мірі визначив обличчя сучасної науки.

Відкриття нової геометрії стало початком численних досліджень видатних математиків 19 століття. Геометрія послужила поштовхом до розвитку науки, а значить і розуміння світу, який на оточує.

А на початку 20-говека було виявлено, що геометрія Лобачевського абсолютно необхідна в сучасній фізиці. Наприклад, в теорії відносності Ейнштейна, в розрахунках сучасних синхрофазотронів, в космонавтиці.

Використовувана література

1.Лаптев Б.Л. Н.И.Лобачевский і його геометрія. Посібник для учнів. М., «Просвещение», 1976.

2.Шербаков Р.Н., Пічуріна Л.Ф. від проектної геометрії - до неевклідової (навколо абсолюту): Кн. Для позакласного читання. IX, X кл. - М .: Просвещение, 1979. - 158с., Іл.- (Світ знань)

3.Погорелов А.В. Геометрія: Учеб. Для 7-9 кл. загальноосвіт. установ / О.В. Погорелов.-5-е изд. - М .: Просвещение, 2010.-224 с.

4. Олексіївський Д.В., Вінберг Е.Б., Солодовников А.С. Геометрія просторів постійної кривизни. В кн.: Підсумки науки и техніки. Сучасні проблеми математики. Фундаментальні напрямки. М .: ВІНІТІ, 1988. Т. 29. С. 1 - 146.

5. http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/67.html

Статті Соросівського Освітнього журналу в текстовому форматі .

6. uztest.ru/abstracts/?idabstract=336056

Словник термінів

1. П ространсто - фундаментальне (поряд з часом) поняття людського мислення, що відображає множинний характер існування світу, його неоднорідність. Безліч предметів, об'єктів, даних в людському сприйнятті одночасно, формує складний ... ... Філософська енциклопедія

1. Л обачесвского геометрія - геометрія, заснована на тих же основних посилках, що і евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельних (див. П'ятий постулат). В геометрії Евкліда згідно цій аксіомі на площині через точку Р, що лежить поза прямою А А, проходить.

математична енциклопедія

1. Лобачевського геометрія - геометрична теорія, заснована на тих же основних посилках, що і звичайна Евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельних, яка замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського. Евклидова аксіома про паралельних свідчить: ... ...

Велика Радянська Енциклопедія

1. Геометрія - розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (точок, ліній, кутів, двовимірних і тривимірних об'єктів), їх розмірів і взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію підрозділяють на планиметрию і стереометрию. енциклопедія

1. «Площиною Лобачевського» (коротко: Л-площиною) називається внутрішня область абсолюту.
2. «Точкою Лобачевського» (коротко: Л-точкою) називається будь-яка евклидова точка M є .
3. «Прямий Лобачевського» (коротко: Л-прямої) називається будь-яка хорда (без кінців) окружності ω.
4. Прямими Лобачевського (коротко: Л-прямими) називаються хорди (без кінців) абсолюту.