Дослідницька робота

МБОУ «Бухоловская ЗОШ»

Дослідницька робота

«Геометрія Лобачевського»

Виконали: учениці 8 класу

Мошненка Юлія, Шестова Тетяна.

Керівник: Севостьянова Наталія Равильевна.

2013 р

зміст

Введення ........................................ .......................................... 3

Історія створення геометрії Лобачевського .... ....... ...................... ...... 4

Геометрія Лобачевського .................................................... ......... ..7

Моделі геометрії Лобачевського ......... .. ......... .. .............................. .9

Відмінність геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда ............. ... ....... 12

Висновок ............... .... .............................. .. .................. .... ...... ..13

Додатки ..................... ... .......... ........................... .... ............ ... 14

Список літератури і ресурсів мережі Інтернет ......... ........................... ... ... 15

Вступ.

У сучасному світі будь-яка грамотна людина знає, що є така дивна неевклидова геометрія - геометрія Лобачевського. Вона була створена нашим співвітчизником - Миколою Івановичем Лобачевским. Її відкриття та революційна ідея про те, що можливі різні і рівноправні геометрії, зробили переворот не тільки в математиці, але і в уявленнях людей про навколишній світ. І тим не менше в повсякденному житті і навіть на уроках геометрії в школі нам не доводиться з нею стикатися, тому багато хто не уявляє собі, що ж насправді створив Лобачевський.

Нас зацікавила ця проблема і ми провели дослідження на тему «Геометрія Лобачевського». Актуальність обраної теми була підтверджена в ході проведеного нами анкетування серед учнів 7 - 10 класів нашої школи. З 35 опитаних - 19 осіб (54%) проявили інтерес до геометрії Лобачевського (додаток 1). Думаємо результати дослідження будуть цікаві тим, хто захоплюється математикою.

Дана робота показує схожість і відмінність двох геометрій: Евклідовій геометрії і геометрії Лобачевського.

Мета дослідження:

виявити відміну геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда.

завдання:

- вивчити наукову літературу, наукові публікації за темою;

- порівняти теореми геометрії Лобачевського з аналогічними теоремами Евкліда.

Очікувані результати:

- використання даної роботи учнями, які цікавляться математикою, для поглиблення знань в геометрії.

Історія створення геометрії Лобачевського.

У розвитку Геометрії можна вказати чотири основні періоди, переходи між якими позначали якісна зміна геометрії.
Перший період зародження геометрії як математичної науки найдавніша Єгипет, Вавилон і Греція. Тут відбувається встановлення перших загальних закономірностей, залежностей між геометричними величинами.

Другий період розвитку геометрії пов'язаний із становленням геометрії в самостійну математичну науку: з'явилися систематичні її викладу, де її пропозиції послідовно доводили. У III столітті до н. е. грецький вчений Евклід привів в систему відомі йому геометричні відомості у великому творі «Начала».

Третій період виділяють з 1-ї половини XVII ст. Р. Декарт ввів в геометрію метод координат. Метод координат дозволив зв'язати геометрію з розвивалася тоді алгеброю.

Четвертий період у розвитку геометрії відкривається побудовою Н. І. Лобачевским в 1826 нової, неевклідової геометрії, що називається тепер геометрією Лобачевського.

Історія створення геометрії Лобачевського одночасно є історією спроб довести 5-ий постулат Евкліда. П'ятий постулат останній і найскладніший з усіх включених Евклидом в його аксіоматику геометрії. Він звучить так: «Якщо дві прямі перетинаються третьою так, що по яку сторону від неї сума внутрішніх кутів менше двох прямих кутів, то по цей же бік вихідні прямі перетинаються» (рис. 1)

Мал. 1

Перевірити п'ятий постулат на практиці дуже складно. Багато математики, що жили після Евкліда намагалися довести, що ця аксіома зайва, тобто вона може бути доведена як теорема на підставі інших аксіом. Перші спроби були зроблені ще в 5 столітті. Математик Прокл (перший коментатор праць Евкліда) використовував твердження, яке є еквівалентом п'ятого постулату: два перпендикуляра до однієї прямої на всьому своєму протязі знаходяться на обмеженій відстані один від одного (тобто два перпендикуляра до третьої прямий не можуть необмежено віддалятися один від одного як на рис. 2).

Мал. 2

Були спроби довести від супротивного: припустимо, що 5-й постулат хибний. Логічного протиріччя не виходило, але приходили до тверджень суперечить нашій геометричній інтуїції. І так протягом двох тисячоліть математики ніяк не могли відкрити істину, що не може бути так, якщо замінити 5-й постулат його запереченням, то можна отримати нову неевклідову геометрію.

Першим, хто допустив можливість існування неевклідової геометрії, в якій п'ятий постулат замінюється його запереченням, був К.Ф. Гаусс. Але тільки після смерті вченого було виявлено, що Гаусс володів ідеями неевклідової геометрії. Геніальний Гаусс, до думки якого всі прислухалися, не ризикнув опублікувати свої результати по неевклідової геометрії, побоюючись бути не зрозумілим.

У XIX столітті, незалежно від Гаусса, до цього відкриття, прийшов наш співвітчизник - професор Казанського університету Н.І. Лобачевський.

Лобачевський, як і всі його попередники, то ж намагався довести п'ятий постулат. Він довів десятки теорем не виявляючи логічного протиріччя. Тоді йому і прийшла ідея замінити п'ятий постулат його запереченням. Лобачевський назвав цю геометрію уявної. Це була неевклідова геометрія.

7 лютого (за старим стилем) 1826 Н. І. Лобачевський представив фізико-математичного факультету Казанського університету доповідь по теорії паралельних під назвою «Міркування про принципи геометрії». У 1829 р в «Учених записках Казанського університету» він помістив статтю «Про початки геометрії». Це була перша опублікована робота по новій геометрії. У наступні роки Лобачевський видав ще ряд творів з геометрії. У цих творах він першим чітко сформулював і обгрунтував твердження про те, що V постулат Евкліда не можна вивести з інших аксіом геометрії.

Геометрія Лобачевського.

Основним пунктом, звідки починається поділ геометрії на звичайну евклидову (вживану) і неевклідову (уявну геометрію) є, постулат про паралельних лініях.

В основі геометрії Евкліда лежить припущення, що через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести в площині, яка визначається цією точкою і прямою, не більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму.

На противагу постулату Евкліда, Лобачевський приймає в основу побудови теорії паралельних ліній наступну аксіому:

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести в площині, яка визначається цією точкою і прямою, більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму.

V *. Нехай а - довільна пряма, а A - точка, що не лежить на цій прямій. Тоді в площині, яка визначається точкою А і прямої а, існує не менше двох прямих, що проходять через точку А і не перетинають пряму а.

З аксіоми V * безпосередньо випливає, що якщо дані довільна пряма а і точка А, що не лежить на ній, то існує безліч прямих, що проходять через точку А і не перетинають пряму а.

Справді, по аксіомі V * існують дві прямі, які позначимо через b і с, що проходять через точку А і не перетинають пряму а (рис. 1). Прямі b і з утворюють дві пари вертикальних кутів, які на малюнку позначені цифрами 1, 2 і 3, 4. Пряма а не перетинає прямі b і с, тому всі її точки належать внутрішньої області одного з чотирьох кутів 1, 2, 3, 4 , наприклад внутрішньої області кута 1. Тоді, очевидно, будь-яка пряма, що проходить через точку а і лежить всередині вертикальних кутів 3 і 4, не перетинає пряму а (наприклад, прямі l і d на рис. 1).

Геометрія Лобачевського (або гіперболічна геометрія) заснована на аксіомах груп I-IV абсолютної геометрії і на аксіомі Лобачевського.

В геометрії Лобачевського, в уявній геометрії, зберігаються всі теореми, які в геометрії Евкліда можна довести без п'ятого постулату. Наприклад: вертикальні кути рівні; кути при основі рівнобедреного трикутника рівні і інші. Але теореми, при доказі яких застосовується аксіома паралельності видозмінюються. Теорема про суму кутів трикутника в якій використовується аксіома паралельності звучить так: сума кутів трикутника менше 180 0. Сума кутів опуклого чотирикутника менше 360 0. В геометрії Лобачевського не існує нерівних подібних трикутників і є четвертий ознака рівності трикутників: якщо кути одного трикутника дорівнюють відповідно кутам іншого, то ці трикутники рівні.

В геометрії Евкліда для визначення відрізка необхідно задати неодмінно деякий інший відрізок (або систему відрізків) і вказати те геометричну побудову, за допомогою якого перший може бути отриманий з другого (частіше задається одиниця довжини і число, що виражає довжину визначається відрізка). В геометрії Лобачевського справа йде простіше: для визначення відрізка не треба ставити іншого відрізка, досить вказати тільки геометричну побудову, за допомогою якого може бути отриманий визначається відрізок (наприклад, як сторона рівностороннього трикутника з кутом, що одержуються з прямого кута за допомогою того чи іншого побудови ).

В геометрії Лобачевського паралельними прямими називаються прямі як необмежено наближаються один до одного.

Моделі геометрії Лобачевського.

Виділяють три різні моделі геометрії Лобачевського:

1) Модель Пуанкаре;

2) Модель Клейна;

3) Відображення геометрії Лобачевського на псевдосфері (інтерпретація Бельтрами).

1) Відображення геометрії Лобачевського на псевдосфері (інтерпретація Бельтрами)

Еудженіо Бельтрамі в 1868 році знайшов модель для неевклідової геометрії, показавши у своїй роботі «Досвід інтерпретації неевклідової геометрії» (1868р.), Що поряд з площинами, на яких здійснюється евклідова геометрія, і сферичними поверхнями, на які діють формули сферичної геометрії, існують і такі реальні поверхні, названі ним псевдосферу (рис.23), на яких частково здійснюється планиметрия Лобачевського.

Відомо, що сферу можна отримати обертанням півкола навколо свого діаметра. Подібно до того, псевдосфера утворюється обертанням лінії FCE, званої трактриса, навколо її осі АВ (рис.3). Отже, псевдосфера - це поверхня в звичайному реальному просторі, на якому виконуються багато аксіоми і теореми неевклідової планіметрії Лобачевского. Наприклад, якщо накреслити на псевдосфері трикутник, то легко побачити, що сума його внутрішніх кутів менше 2π (рис.4).

рис.4

Цими моделями була остаточно встановлена ​​несуперечливість геометрії Лобачевського. Роботою вчених було доведено, що геометрія Евкліда не є єдино можливою. Саме ці твердження і відкриття надали прогресивне вплив на весь подальший розвиток геометрії.

2) Модель Клейна.

В 1871 році Клейн запропонував першу повноцінну модель площині Лобачевського. За площину приймається будь-якої коло (рис.2.1), за точки - точки належать цьому колі, за прямі - хорди - звичайно, з виключенням решт, оскільки розглядається тільки внутрішність круга. За переміщення приймаються перетворення кола, що переводять його в себе і хорди - в хорди. Відповідно, "конгруентними" називаються фігури, перекладні один в одного такими перетвореннями.

Мал. 2

Очевидно, що в межах певної частини площині (кола), як би ця частина не була велика, можна провести через дану точку С безліч прямих, що не перетинають даної прямої. Всередині кола будь-якого кінцевого радіусу існує безліч прямих (тобто хорд), що проходять через т. З і не зустрічаючих прямий АВ (рис.2.2). Будь-яка теорема планіметрії Лобачевського є в цій моделі теоремою геометрії Евкліда і, назад, всяка теорема геометрії Евкліда, що говорить про фігури всередині даного кола, є теоремою геометрії Лобачевського.

3) Модель Пуанкаре, 1882 рік.

У моделі Пуанкаре на евклідової площини E фіксується горизонтальна пряма x. Вона носить назву «абсолюту». Точками площини Лобачевського вважаються точки площині E, що лежать вище абсолюту x. Таким чином, в моделі Пуанкаре площину Лобачевського - це напівплощина L, що лежить вище абсолюту. Прямими площині L вважаються півкола з центрами на абсолюті або промені з вершинами на абсолюті і перпендикулярні йому. Фігура на площині Лобачевського - це фігура полуплоскости L. Належність точки фігурі розуміється так само, як і на евклідової площини E. При цьому відрізком площині L вважається дуга окружності з центром на абсолюті або відрізок прямої, перпендикулярної абсолюту (рис. 1).

рис.1

Відмінність геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда.

Таблиця-висновок.

Евклід

Лобачевський

простір

плоске

гіперболічне

Положення паралельних прямих

не перетинаються

перетинаються

Сума кутів трикутника

дорівнює 180 0

менше 180 0

Сума кутів опуклого чотирикутника

дорівнює 360 0

менше 360 0

Ознаки рівності трикутників

3

4

Подібні трикутники (нерівні)

є

немає

Висновок.

Геометрія Лобачевського - побудована в 1826 Н. І. Лобачевским геометрична теорія, заснована на тих же основних посилках, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми (постулати) про паралельних. евклидова аксіома говорить: в площині через точку, що не лежить на даній прямий, можна, можливо провести одну, і тільки одну, пряму, паралельну даній, т. е. її не перетинає. В геометрії Лобачевського ця аксіома замінена наступною: в площині через точку, що не лежить на даній прямий, можна, можливо провести більше однією прямий, не перетинає даної. В геометрії Лобачевського багато теореми відмінні від аналогічних теорем евклідової геометрії. наприклад, сума кутів трикутника менше двох прямих; два подібних трикутника завжди рівні між собою.

незважаючи на зовнішню парадоксальність цих висновків, геометрія Лобачевського виявилася логічно абсолютно рівноправною з евклідової.

Якщо нам необхідно провести вимірювання на площині (виміряти, наприклад, відстань від точки до точки, в с / г - виміряти поле), то ми скористаємося геометрією Евкліда. Вона найпростіша для розуміння, тому викладається найперша. До того ж, це найдавніша геометрія, основа основ, своєрідний базис. Коли ми робимо виміри й обчислення в просторі, з чим теж стикаємося нерідко, ми спираємося на висновки Лобачевського і його геометрію.

відкриття неевклідової геометрії Лобачевским внесло корінні зміни в уявлення про природу простору. У ХХ столітті було виявлено, що геометрія Лобачевського не тільки має важливе значення для абстрактної математики, як одна з можливих геометрій, але і безпосередньо пов'язана з додатками математики до фізики. Виявилося, що взаємозв'язок простору і часу має безпосереднє відношення до геометрії Лобачевського. Наприклад, в розрахунках сучасних синхрофазотронів використовують формули геометрії Лобачевського.

Додаток 1.

Дорогий друг!

Просимо тебе відповісти на питання анкети

з метою проведення дослідження

по вивченню неевклідової геометрії.

Будемо дуже вдячні за сприяння.

1. Ти вчишся в _______ класі.

1. Чи подобається тобі наука геометрія?

а) так; б) немає; в) важко відповісти.

3. На честь якого великого математика названа геометрія, яку ти вивчаєш у школі:

а) Піфагор; б) Евклід;

в) Архімед; г) Лобачевський.

4. Чи знаєш ти, що існує інша геометрія?

а) так; б) немає (переходиш до питання 6.)

5. Ім'я якого Російського математика носить ця геометрія?

6. Чи хотів би ти дізнатися більше про цю геометрії?

а) так; б) немає; в) важко відповісти.

Список літератури і ресурсів мережі Інтернет.

1. Б.Л. Лаптєв. Н.І. Лобачевський і його геометрія. Посібник для учнів. М. «Просвещение», 1970 г.
2. Александров П. С. Що таке неевклідова геометрія. Москва, 2007.
3. Глейзер Г.І. Історія математики в школі (7 - 8 кл.). Москва, «Просвещение», 1982 р
4. Енциклопедичний словник юного математика. Москва, «Педагогіка», 1989 г.
5. Широков П.А. Короткий нарис основ геометрії Лобачевського. /. - М .: Наука, 1983 г.
6. Геометрія Лобачевського [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского
7. Світила математики. Н.И.Лобачевский [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://mathsun.ru/lobachevskij.html
8. Енциклопедія для дітей. [Том 11.] Математика. - 2-е изд., Перераб. / Ред. колегія: М. Аксьонова, В. Володін, М. Самсонов. - М .: Світ енциклопедій Аванта +, Астрель, 2007 р