Книги. Завантажити книги DJVU, PDF безкоштовно. Безкоштовна електронна бібліотека
Арнольд В.І., Геометричні методи в теорії звичайних диференціальних рівнянь
Ви можете 
знайти на цій сторінці (Програма відзначить жовтим кольором)
Ви можете подивитись 
список книг з вищої математики з сортуванням за алфавітом.
Ви можете подивитись список книг по вищій фізики з сортуванням за алфавітом.
• Безкоштовно завантажити книгу , Обсяг 2.54 Мб, формат .djvu
Шановні пані та панове !! Для того, щоб без "глюків" скачати файли електронних публікацій, натисніть на підкреслену посилання з файлом ПРАВОЇ кнопкою миші, виберіть команду "Save target as ..." ( "Зберегти об'єкт як ...") і збережіть файл електронної публікації на локальний комп'ютер. Електронні публікації зазвичай представлені в форматах Adobe PDF і DJVU.
ГЛАВА 1. Спеціальні рівняння
§ 1. Диференціальні рівняння, інваріантні щодо груп симетрії
§ 2. Дозвіл особливостей диференціальних рівнянь
§ 3. Рівняння, не дозволені щодо похідних
§ 4. Нормальна форма рівняння, дозволеного щодо похідною, в околиці регулярної особливої точки
§ 5. Стаціонарне рівняння Шредінгера
§ 6. Геометрія диференціального рівняння другого порядку і геометрія пари полів напрямків в тривимірному просторі
ГЛАВА 2. Рівняння з приватними похідними першого порядку
§ 7. Лінійні і квазілінійних рівняння з приватними похідними першого порядку
§ 8. Нелінійне рівняння з приватними похідними першого порядку
§ 9. Теорема Фробеніуса
ГЛАВА 3. Структурна стійкість
§ 10. Поняття структурної стійкості
§ 11. Диференціальні рівняння на торі
§ 12. Аналітичне приведення до повороту аналітичних дифеоморфізмів окружності
§ 13. Введення в гіперболічних теорію
§ 14. У-системи
§ 15. Структурно стійкі системи не всюди щільні
ГЛАВА 4. Теорія збурень
§ 16. Метод усереднення
§ 17. Усереднення в одночастотних системах
§ 18. Усереднення в багаточастотних системах
§ 19. Усереднення в гамільтонових системах
§ 20. Адіабатичні інваріант
§ 21. Усереднення в листковому Зейферта
ГЛАВА 5. Нормальні форми
§ 22. Формальне приведення до лінійної нормальної формі
§ 23. Резонансний випадок
§ 24. Області Пуанкаре і Зигеля
§ 25. Нормальна форма відображення в околиці нерухомої точки
§ 26. Нормальна форма рівняння з періодичними коефіцієнтами
§ 27. Нормальна форма околиці еліптичної кривої
§ 28. Доведення теореми Зигеля
ГЛАВА 6. Локальна теорія біфуркацій
§ 29. Сімейства і деформації
§ 30. Матриці, що залежать від параметрів, і особливості декремент-діаграм
§ 31. Біфуркації особливих точок векторного поля
§ 32. версальная деформації фазових портретів
§ 33. Втрата стійкості положення рівноваги
§ 34. Втрата стійкості автоколивань
§ 35. версальная деформації еквіваріантних векторних полів на площині
§ 36. Перебудови топології при резонансах
§ 37. Класифікація особливих точок
Коротка анотація книги
У книзі викладено ряд основних ідей і методів, що застосовуються для дослідження звичайних диференціальних рівнянь. Елементарні методи інтегрування розглядаються з точки зору общематематических понять (дозвіл особливостей, групи Лі симетрії, діаграми Ньютона і т.д.). Теорія рівнянь з приватними похідними першого порядку викладена на основі геометрії контактної структури.
У книгу включені класичні та сучасні результати теорії динамічних систем: структурна стійкість, У-системи, аналітичні методи локальної теорії в околиці особливої точки або періодичного рішення (нормальні форми Пуанкаре), теорія біфуркації фазових портретів при зміні параметрів (м'яке і жорстке порушення автоколебаний при втраті стійкості), подвоєння періоду Фейгенбаума, теорема Дюлак і ін. Книга розрахована на широке коло математиків і фізиків - від студентів до викладачів і науковців.
Передмова
Основне відкриття Ньютона, то, яке він вважав за потрібне засекретити і опублікував лише у вигляді анаграми, полягає в наступному: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa». У перекладі на сучасний математичний мову це означає: «Корисно вирішувати диференціальні рівняння».
В даний час теорія диференціальних рівнянь являє собою важко доступний для огляду конгломерат великої кількості різноманітних ідей і методів, надзвичайно корисний для всіляких додатків і постійно стимулюючий теоретичні дослідження у всіх відділах математики. Велика частина доріг, що зв'язують абстрактні математичні теорії з природничо додатками, проходить через диференціальні рівняння. Багато розділів теорії диференціальних рівнянь настільки розрослися, що стали самостійними науками; проблеми теорії диференціальних рівнянь мали велике значення для виникнення таких наук, як лінійна алгебра, теорія груп Лі, функціональний аналіз, квантова механіка і т. д. Таким чином, диференціальні рівняння лежать в основі природничо математичного світогляду.
При відборі матеріалу для цієї книги автор намагався викласти основні ідеї і методи, що застосовуються для вивчення диференціальних рівнянь. Особливі зусилля були докладені до того, щоб основні ідеї, як правило прості і наочні, що не захаращувати технічними деталями. З найбільшою подробицею розглядаються найбільш фундаментальні і прості питання, в той час як виклад більш спеціальних і важких елементів теорії носить характер огляду. Книга починається з дослідження деяких спеціальних диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурі. При цьому основна увага приділяється не формально-рецептурної стороні елементарної теорії інтегрування, а її зв'язків з общематематических ідеями, методами і поняттями (дозвіл особливостей, групи Лі, діаграми Ньютона), з одного боку, і природничо-науковим програмам - з іншого.
Теорія рівнянні з приватними похідними першого порядку розглядається за допомогою природної контактної структури в різноманітті 1-струменів функцій. Попутно викладаються необхідні елементи геометрії контактних структур, що роблять всю теорію незалежною від інших джерел. Значну частину книги займають методи, зазвичай звані якісними. Сучасний розвиток заснованої А. Пуанкаре якісної теорії диференціальних рівнянь привело до розуміння того, що, подібно до того, як явне інтегрування диференціальних рівнянь, взагалі кажучи, неможливо, неможливим виявляється і якісне дослідження скільки-небудь загальних диференціальних рівнянь з багатовимірним фазовим простором. У книзі обговорюється аналіз диференціальних рівнянь з точки зору структурної стійкості, тобто стійкості якісної картини по відношенню до малих змін диференціальних рівнянь. Викладено основні результати, отримані після перших робіт А.А.Андронова і Л. С. Понтрягіна в цій області: початки теорії структурно стійких У-систем Аносова, все траєкторії яких експоненціально нестійкі, і теорема Смейла про нещільність безлічі структурно стійких систем. Обговорюється також питання про значення цих математичних відкриттів для додатків (мова йде про опис стійких хаотичних режимів руху, на зразок турбулентних).
До найбільш потужним і часто застосовуваних методів дослідження диференціальних рівнянь відносяться різні асимптотичні методи. У книзі викладені основні ідеї методу усереднення, висхідного до робіт основоположників небесної механіки і широко використовуваного у всіх областях додатків, де потрібно відокремити повільну еволюцію від швидких осциляції (Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольський і ін.). Незважаючи на велику кількість досліджень по усереднення, в питанні про еволюцію навіть для найпростіших багаточастотних систем далеко не все ясно. У книзі дається огляд робіт про проходження резонансів і про захоплення в резонанс, спрямованих до з'ясування цього питання. Основою методу усереднення є ідея знищення збурень за допомогою відповідного вибору системи координат. Ця ж ідея лежить в основі теорії нормальних форм Пуанкаре. Метод нормальних форм є основним методом локальної теорії диференціальних рівнянь, яка описує поведінку фазових кривих в околиці особливої точки або замкнутої фазової кривої. У книзі викладені основи методу нормальних форм Пуанкаре, включаючи доказ фундаментальної теореми Зигеля про лінеаризації голоморфних відображення. Важливі застосування метод нормальних форм Пуанкаре знаходить не тільки при дослідженні окремого диференціального рівняння, але і в теорії біфуркацій, коли предметом вивчення є сімейство рівнянь, що залежать від параметрів.
Теорія біфуркацій вивчає зміни якісної картини при зміні параметрів, від яких залежить система. При загальних значеннях параметрів зазвичай доводиться мати справу з системами загального положення (всі особливі точки прості і т.д.). Однак, якщо система залежить від параметрів, то при деяких значеннях параметрів неминуче зустрічаються виродження (наприклад, злиття двох особливих точок векторного поля).
У однопараметричними сімействі загального положення зустрічаються лише найпростіші виродження (ті, від яких не можна позбутися малим ворушінням сімейства). Таким чином виникає ієрархія виродження по коразмірністю відповідних поверхонь в функціональному просторі всіх досліджуваних систем: в однопараметрі-чеських родинах загального положення зустрічаються лише виродження, відповідні поверхонь коразмерності один, і т. Д.
В останні роки в теорії біфуркацій спостерігається значний прогрес, пов'язаний із застосуванням ідей і методів загальної теорії особливостей диференційовних відображень X. Уїтні. Книга закінчується главою про теорію біфуркацій, в якій застосовуються розвинені в попередніх розділах методи і описані результати, отримані в цій області, починаючи з основоположних робіт А. Пуанкаре і А. А. Андронова. При викладі всіх питань автор прагнув уникнути аксіоматично-дедуктивного стилю, характерною ознакою якого є невмотивовані визначення, що приховують фундаментальні ідеї і методи; подібно притч, їх роз'яснюють лише учням наодинці.
Триваюча, як стверджують, вже більше 50 років аксіоматизація і алгебраізація математики привела до неудобочітаеми настільки великого числа математичних текстів, що стала реальністю завжди загрозлива математики загроза повної втрати контакту з фізикою і природничими науками. Автор намагався вести виклад таким чином, щоб книгою могли користуватися не тільки математики, але все споживачі теорії диференціальних рівнянь. У читача цієї книги передбачаються лише дуже невеликі общематематических уявлення в обсязі приблизно перших двох курсів університетської програми; досить (але не необхідно), наприклад, знайомство з підручником В. І. Арнольда «Звичайні диференціальні рівняння». Виклад побудований таким чином, щоб читач міг пропускати місця, які опинилися для нього важкими, без великих збитків для розуміння подальшого: були вжиті заходи для того, щоб по можливості уникати посилань з голови в голову і навіть з параграфа до параграфа.
Зміст цієї книги склав матеріал ряду обов'язкових і спеціальних курсів, що читаються автором на механіко-математичному факультеті МДУ в 1970-1976 роках для студентів-математиків II-III курсів, для слухачів факультету підвищення кваліфікації та на експериментальному потоці математиків природничого профілю.
Автор висловлює подяку студентам О. Є. Хадіну, А. К. Ковальджі, Е. М. Каганової і доц. Ю. С.Ільяшенко, чиї конспекти були дуже корисними при підготовці цієї книги. Складений Ю. С.Ільяшенко конспект спеціального курсу, а також конспекти лекцій на експериментальному потоці протягом ряду років перебували в бібліотеці факультету. Автор вдячний численним читачам і слухачам цих курсів за ряд цінних зауважень, використаних при підготовці книги. Автор вдячний рецензентам Д. В. Аносову і В. А. плісе за ретельне рецензування рукописи, що сприяло її поліпшення.
