Текстові завдання B13 з ЄДІ з математики

1. Текстові завдання B13 на рух
2. Текстові завдання B13 на роботу
3. Текстові завдання B13 на відсотки
4. Текстові завдання B13 на сплави

Текстова завдання B13 з ЄДІ з математики присвячена вирішенню математичних задач або, як їх ще називають, завдань на складання рівнянь. Всі ці завдання можна умовно розбити на три великі групи: завдання на рух, завдання на роботу і завдання на розчини, розплави, відсотки і частки. Як репетитор з математики, що займається підготовкою до ЄДІ і ДПА з математики, можу сказати, що вміння вирішувати подібні завдання є ключовим при підготовці до Єдиного державного іспиту з математики.

У даній статті ми коротко зупинимося на основних проблемах, які виникають у школярів при вирішенні текстових завдань B13. Як завжди, будемо розбирати все на прикладі конкретних завдань B13, взятих з реальних варіантів ЄДІ з математики минулих років. До кожного розібраному наприклад в статті буде приведена аналогічна задача для самостійного рішення для здійснення самоконтролю, без нього ніяк. Проте, якщо при їх вирішенні у вас виникнуть якісь питання, ви можете сміливо ставити їх в коментарях. Жодне питання без відповіді не залишиться.

Перш ніж ми приступити до розбору конкретних текстових завдань B13, подивимося, які взагалі існують підходи до їх вирішення. Найбільш поширений і, треба сказати, досить ефективний спосіб - використання таблиць. Залежно від типу розв'язуваної задачі (будь то задача на рух, роботу, сплави, розчини і відсотки) стовпчики в цій таблиці матимуть різні назви:

Таблиці для вирішення текстових завдань B13 (завдань на складання рівнянь) з ЄДІ з математики

Чому використання таких таблиць спрощує рішення текстових завдань B13 за допомогою рівнянь? Просто тому, що це зручно. Дані таблиці дозволяють в наочному і зрозумілому вигляді записати умову задачі і провести його аналіз для складання рівняння. Розберемо це на конкретних прикладах.

Текстові завдання B13 на рух

Приклад 1. З пунктів A і B одночасно виїхали назустріч один одному два автомобілі. Перший автомобіль рухався в 2 рази швидше другого і приїхав в пункт B на 1 годину раніше, ніж другий приїхав в пункт A. На скільки хвилин раніше зустрілися б автомобілі, якби швидкість другого автомобіля дорівнювала швидкості першого?

Рішення. Отже, по кроках розглянемо як заповнюється таблиця в даній задачі. Читаємо текст завдання ще раз. Перше речення: «З пунктів A і B одночасно виїхали назустріч один одному два автомобілі.» Йдеться про двох автомобілях, значить наша таблиця буде виглядати наступним чином:

Зовнішній вигляд таблиці, використовуваної для вирішення текстовій завдання B13 на рух

Читаємо далі. Друга пропозиція: «Перший автомобіль рухався в 2 рази швидше другого і приїхав в пункт B на 1 годину раніше, ніж другий приїхав в пункт A.» В даній пропозиції, як бачите, містяться дані, які потрібно занести у відповідні осередки нашої таблиці. Фраза «він (перший автомобіль) приїхав в пункт B на 1 годину раніше, ніж другий приїхав в пункт A» означає, що час руху першого автомобіля було на 1 годину менше, ніж другого. Попутно ми усвідомлюємо, що обидва автомобілі проїхали однакову відстань, яку можна позначити за 1. Заносимо ці дані в таблицю, і вона набирає вигляду:

Таблиця для вирішення завдання b13 на рух з внесеними в неї даними

Для вирішення завдання нам потрібно скласти рівняння, отже, необхідно щось позначити за Формально за можна позначити що завгодно з того, що не відомо. Завдання в будь-якому випадку буде мати рішення. Просто при невдалому виборі зросте складність обчислень, а, відповідно, і ймовірність помилки. Найбільш простим рівняння вийде в тому випадку, якщо за тут позначити швидкість другого автомобіля. Ви можете легко переконатися в цьому самі, вибравши який-небудь інший параметр і склавши необхідну рівняння.

Отже, якщо швидкість другого автомобіля то швидкість першого автомобіля оскільки за умовою вона в 2 рази більше. Щоб знайти час руху, потрібно відстань розділити на швидкість. Тобто час руху другого автомобіля одно а час руху першого одно Заносимо всі ці дані в таблицю:

Заповнена таблиця для вирішення текстовій завдання B13 на складання рівняння

Тепер написати рівняння для вирішення завдання не повинно скласти праці. Використовуємо умова, що час руху першого автомобіля на 1 годину менше, ніж другого:

Тобто швидкість руху другого автомобіля дорівнює умовних одиниць на годину. Тоді швидкість руху першого автомобіля дорівнює умовна одиниця в годину.

Нагадаю, що нам потрібно визначити: «На скільки хвилин раніше зустрілися б автомобілі, якби швидкість другого автомобіля дорівнювала швидкості першого?» Тепер, коли ми знаємо швидкості кожного автомобіля, ми легко зможемо відповісти на це питання.

Якби другий автомобіль їхав з тієї ж швидкість, що і перший, тобто зі швидкістю 1 умовна одиниця в годину, то зустріч відбулася б на середині шляху через години. Тут 1 - повне відстань, (1 + 1) - швидкість зближення автомобілів.

Насправді ж зустріч відбулася через години. Тут, аналогічно, 1 - повне відстань, - швидкість зближення автомобілів. Тобто реально автомобілі зустрілися пізніше на години або на 10 хвилин.

Відповідь: 10 хвилин.

Завдання для самостійного рішення №1. З порту A в порт B відправився катер. Одночасно з ним з порту B в порт A вирушила моторний човен. Катер прибув в порт B на 2 години швидше, ніж моторний човен прибула в порт A, а їхня зустріч відбулася через 45 хвилин після початку руху. Скільки годин рухалася моторний човен з порту B в порт A?

Показати відповідь

Відповідь: 3.

Текстові завдання B13 на роботу

Приклад 2. Письменник зібрався надрукувати на комп'ютері 300 сторінок тексту. Якби він друкував на 5 сторінок в день більше, ніж запланував, то зміг би завершити роботу на 3 дні раніше. Яка кількість сторінок в день запланував друкувати письменник?

Рішення. Читаючи умова, розуміємо, що в завданні розглядаються дві ситуації: запланована і відбулася. Отже, наша таблиця буде мати такий вигляд:

Зовнішній вигляд таблиці, використовуваної для вирішення текстовій завдання B13 з ЄДІ з математики на роботу

Читаємо ще раз умова: «Письменник зібрався надрукувати на комп'ютері 300 сторінок тексту. Якби він друкував на 5 сторінок в день більше, ніж запланував, то зміг би завершити роботу на 3 дні раніше. »

Швидкість роботи - це той обсяг роботи, який виконується за одиницю часу, в нашому випадку - за один день. Отже, інформація міститься у висловленні «друкуючи на 5 сторінок в день більше, ніж запланував», відноситься, очевидно, до фактичної швидкості роботи.

Час роботи - це та кількість днів, яке знадобляться для виконання всієї роботи. Отже, дані, що містяться в висловлюванні «він зміг би завершити роботу на 3 дні раніше (ніж запланував)» відноситься до часу роботи, причому до фактичного.

Загальний же обсяг роботи не залежить від планів нашого письменника і дорівнює в тому і в іншому випадку трьомстам сторінок. Заносимо всі ці дані в таблицю, і вона в результаті набуває вигляду:

Заповнена даними з умови таблиця для вирішення завдання B13 на роботу

Що тут найзручніше позначити за Те, що потрібно знайти, тобто швидкість роботи за планом. Так і зробимо. Раз швидкість роботи за планом дорівнює то фактична швидкість роботи дорівнює тому що вона за умовою на 5 сторінок в день більше.

Щоб знайти час роботи, потрібно загальний обсяг роботи розділити на швидкість роботи. Тобто час роботи за планом одно а фактичний час роботи одно Знову занесемо ці дані в таблицю, в результаті чого вона набуде вигляду:

Таблиця для складання рівняння для вирішення текстовій завдання B13 на роботу

Тепер скласти рівняння для вирішення завдання вже нескладно. Використовуємо то умова, що за фактом робота була виконана на 3 раніше запланованого терміну. Тобто запланований час роботи мінус фактичний час роботи дорівнює трьом дням:

Зрозуміло, що негативний варіант нам не підходить. Отже, нас запитували: «Яка кількість сторінок в день запланував друкувати письменник?» Тепер ми можемо відповісти на це питання. Наш письменник запланував друкувати по 20 сторінок на день.

Відповідь: 20.

Завдання для самостійного рішення №2. Час наповнення резервуара однією трубою на 22 хвилини більше, ніж другий. Якщо обидві труби будуть працювати разом, вони наповнять резервуар за одну годину. Скільки часу буде потрібно для наповнення резервуара однієї другої трубою?

Показати відповідь

Відповідь: 110.

Текстові завдання B13 на відсотки

Приклад 3. У понеділок акції піднялися в ціні на кілька відсотків, а у вівторок впали в ціні не те ж саме кількість відсотків. В результаті вони виявилися на 4% дешевше початкової вартості. На скільки відсотків подешевшали акції у вівторок?

Рішення. Отже, в понеділок акції піднялися в ціні, у вівторок - впали в ціні. Для вирішення завдання нам буде потрібно таблиця, яка містить крім шапки два рядки (для понеділка та вівторка відповідно). Тобто ця таблиця буде мати такий вигляд:

Зовнішній вигляд таблиці для вирішення текстовій завдання B13 на відсотки з ЄДІ

Питання завдання: «На скільки відсотків подешевшали акції у вівторок?» На це ж кількість відсотків вони подорожчали в понеділок. Це ми і позначимо на невідому величину Оскільки нам не відома вартість акцій на момент відкриття торгів у понеділок, приймемо її за 1. Це ніяк не відіб'ється на результаті, адже нам потрібно визначити лише процентна зміна.

Отже, «в понеділок акції піднялися в ціні на деякий (в наших позначеннях) кількість відсотків». Отже, після підвищення їх вартість склала Заносимо цю інформацію в нашу таблицю.

Для тих, кому не зрозуміло, звідки вийшла така формула, простий приклад. Припустимо футболка коштувала 100 крб., Потім її ціна збільшилася на 20%. Скільки стала коштувати футболка? Кожен без зусиль відповість, що 120 руб. А як ви отримали це значення? Помножили 100 на 1,2. А звідки ви взяли число 1,2? З дробу де 20% - відсоток, на який підвищилася вартість футболки.

Частково заповнена таблиця для вирішення текстовій завдання B13 на роботу

Йдемо далі. «У вівторок впали в ціні не те ж саме кількість відсотків. В результаті вони виявилися на 4% дешевше початкової вартості. »Отже, у вівторок ціна впала на відсотків. Отже, нова ціна стала дорівнює Кому це не зрозуміло, прочитайте ще раз приклад з футболкою, описаний вище. При цьому відомо, що остаточна ціна виявилася на 4% менше первісної, що дорівнює 1, тобто 0,96. Заносимо ці дані в таблицю, після чого вона набуває вигляду:

Заповнена таблиця для вирішення текстовій завдання B13 на відсотки

Тепер скласти рівняння для вирішення завдання вже легко:

За змістом задачі нам підходить тільки позитивну відповідь.

Відповідь: 20.

Завдання для самостійного рішення №3. Ціна покупки зі знижкою в 4% склала тисячу сто п'ятьдесят-дві рубля. Скільки коштувала б покупка без надання знижки?

Показати відповідь

Відповідь 1200.

Текстові завдання B13 на сплави

Приклад 4. Зміст міді в першому сплаві - 10%, вміст міді в другому сплаві - 40%. Другий сплав важить на 3 кг більше першого. Сплавивши перші два сплаву, отримали третій сплав, вміст міді в якому опинилося 30%. Обчисліть масу третього сплаву. Запишіть відповідь у кілограмах.

Рішення. У задачі розглядаються два сплаву і третій сплав, що складається з перших двох. Отже, в нашій таблиці крім шапки буде ще три рядки (по одній на кожен із сплавів). Тобто вона буде мати наступний вигляд:

Загальний вигляд використовуваної для вирішення текстовій завдання B13 таблиці

Читаємо ще раз умова: «Зміст міді в першому сплаві - 10%, вміст міді в другому сплаві - 40%. Другий сплав важить на 3 кг більше першого. Сплавивши перші два сплаву, отримали третій сплав, вміст міді в якому опинилося 30%. »Всі дані з умови заносимо в відповідні елементи таблиці. Я думаю, вам не складе особливих труднощів зробити це самостійно:

Частково заповнена таблиця для вирішення текстовій завдання B13 на сплави

Здається, що в цьому завданні найзручніше за позначити масу першого сплаву. Тоді маса другого сплаву буде А що таке «концентрація»? В даному випадку під концентрацією розуміється відношення маси речовини в сплаві до загальної маси сплаву. Отже, щоб знайти масу речовини (міді), потрібно масу сплаву помножити на відповідну концентрацію, виражену у вигляді десяткового дробу. Тоді вміст міді в першому сплаві дорівнює а вміст міді в другому сплаві одно

Маса загального сплаву, очевидно, буде дорівнює сумі мас кожного з первинних сплавів, тобто маса міді в загальному сплаві теж, очевидно, буде дорівнює сумі мас міді в першому і в другому сплаві, тобто Вносимо всі ці дані в таблицю, і вона приймає вид:

Заповнена таблиця для вирішення текстовій завдання B13 на сплави

Ще раз, концентрація - це відношення маси речовини в сплаві до маси сплаву. Отже, щоб дізнатися концентрацію отриманого сплаву, потрібно загальну масу міді в третьому сплаві поділити на загальну масу третього сплаву При цьому з умови відомо, що ця концентрація дорівнює 30%. Тобто рівняння для вирішення даної текстовій завдання B13 на сплави матиме вигляд:

кг.

Це маса першого сплаву. Тоді маса другого сплаву дорівнює кг. Читаємо питання завдання: «Обчисліть масу третього сплаву. Запишіть відповідь у кілограмах. »Тепер ми маємо в своєму розпорядженні достатню кількість інформації, щоб дати правильну відповідь. Маса третього сплаву дорівнює кг.

Відповідь: 9.

Завдання для самостійного рішення №4. Після змішування 4-х літрів 15-процентного розчину речовини з таким же об'ємом 19-процентного розчину цієї ж речовини отримали третій розчин. Обчисліть концентрацію отриманого розчину.

Показати відповідь

Відповідь: 17.

Як репетитор з математики і фізики рекомендую при вирішенні текстових завдань B13 з ЄДІ з математики уважно читати питання завдання. Часто учні в процесі вирішення забувають про те, що конкретно потрібно знайти. Тому перш ніж записувати що-небудь в бланк відповідей ЄДІ, перевірте, про те чи вас запитують в завданні. Досвід показує, що багато школярів відчувають труднощі зі складанням рівнянь для вирішення текстових завдань B13. Але навчитися їх вирішувати можна і потрібно обов'язково. Втрачати бали на нескладних завданнях з першої частини ЄДІ з математики завжди дуже прикро. Удачі вам в підготовці і блискучих результатів на іспиті!

Великий успіх складається з безлічі передбачений-них і обміркованих дрібниць.
© Василь Осипович Ключевський

Репетитор фізики і математики
Сергій Валерійович