Теореми про неповноту Курта Геделя, доказ теореми Геделя

1. Теореми про неповноту Геделя: Дірка в математиці
2. Віддалене майбутнє - це віддалене минуле
3. Віра і інтуїція

Переломним відкриттям математики ХХ століття були теореми про неповноту Курта Геделя. А в його рукописах, опублікованих після смерті, збереглося логічне доказ існування Бога. На останніх Різдвяних читаннях цікаву доповідь про цей маловідомий спадщині зробив доцент Тобольської духовної семінарії, кандидат богослов'я ієрей Димитрій Кір'янов. «НС» попросив пояснити головні ідеї вченого.

Теореми про неповноту Геделя: Дірка в математиці

- Чи можна якось популярно пояснити теореми про неповноту Геделя? Цирульник голить лише тих, хто не голиться сам. Голить чи себе цирульник? Цей знаменитий парадокс має до них відношення?

Головна теза логічного докази існування Бога, висунутий Куртом Геделем: "Бог існує в мисленні. Але існування в реальності більше, ніж існування тільки в думки. Отже, Бог повинен існувати". На фото: автор теореми про неповноту Курт Гедель зі своїм другом, автором теорії відносності Альбертом Ейнштейном. Прістон. Америка. 1950

- Так, звичайно, має. До Геделя існувала проблема аксіоматизації математики і проблема таких парадоксальних пропозицій, які формально можна записати на будь-якій мові. Наприклад: «Це твердження помилкове». Яка істинність цього твердження? Якщо воно істинне, отже, воно помилкове, якщо воно помилкове, значить, це правда, виходить мовної парадокс. Гедель досліджував арифметику і показав в своїх теоремах, що її несуперечливість не може бути доведена, виходячи з її самоочевидних принципів: аксіом додавання, віднімання, ділення, множення та ін. Нам потрібні для її обґрунтування деякі додаткові допущення. Це на найпростішою теорії, а що говорити про більш складних (рівняннях фізики і т. П.)! Завжди для обгрунтування якоїсь системи умовиводів ми змушені вдаватися до якогось додаткового висновку, що в рамках системи не обгрунтовується.

Перш за все це вказує на обмеженість претензій людського розуму в пізнанні реальності. Тобто ми не можемо говорити про те, що ми побудуємо якусь всеосяжну теорію світобудови, яка все пояснить, - така теорія не може бути науковою.

- Як математики зараз відноситься до теорем Геделя? Ніхто не намагається їх спростувати, якось обійти?

- Це все одно що намагатися спростувати теорему Піфагора. Теореми мають суворе логічне доказ. У той же час робляться спроби знайти обмеження застосовності теорем Геделя. Але головним чином суперечки точаться навколо філософських наслідків теорем Геделя.

- Наскільки опрацьовано геделево доказ існування Бога? Воно закінчено?

- Воно опрацьовано детально, хоча сам учений до самої своєї смерті так і не зважився його опублікувати. Гедель розвиває онтологічний (метафізичний. - «НС») аргумент, вперше запропонований Ансельмом Кентерберійським. У стислій формі цей аргумент можна представити таким чином: «Бог, за визначенням, є Тим, більше Кого не можна нічого помислити. Бог існує в мисленні. Але існування в реальності більше, ніж існування тільки в думки. Отже, Бог повинен існувати ». Аргументацію Ансельма пізніше розвивали Рене Декарт і Готфрід Вільгельм Лейбніц. Так, на думку Декарта, мислити Вища Досконале Буття, якому бракує існування, означає впадати в логічне протиріччя. У контексті цих ідей Гедель розробляє свою версію докази, вона вміщається буквально на двох сторінках. На жаль, виклад його аргументації неможливо без введення в основи дуже складною модальної логіки.

Зрозуміло, логічна бездоганність висновків Геделя не примушує людину ставати віруючим під тиском сили доказів. Не слід бути наївними і вважати, що ми можемо переконати будь-якого розумно мислячої людини увірувати в Бога за допомогою онтологічного аргументу або інших доказів. Віра народжується тоді, коли людина стає лицем до лиця перед очевидним присутністю вищої трансцендентної Реальності Бога. Але можна назвати принаймні одну людину, яку онтологічний доказ призвело до релігійної віри, - це письменник Клайв Стейплз Льюїс, він сам зізнавався в цьому.

Віддалене майбутнє - це віддалене минуле

- Як ставилися до Геделя сучасники? Він дружив з кимось із великих вчених?

- Асистент Ейнштейна в Прінстоні свідчить, що єдиною людиною, з яким той зустрічався в останні роки життя, був Курт Гедель. Вони були різні багато в чому - Ейнштейн товариський, веселий, а Гедель гранично серйозний, абсолютно самотній і недовірливий. Але вони мали загальну якість: обидва йшли прямо і щиро до центральних питань науки і філософії. Незважаючи на дружбу з Ейнштейном, Гедель мав свій специфічний погляд на релігію. Він відкидав уявлення про Бога як безособової істоті, яким був Бог для Ейнштейна. З цього приводу Гедель зауважив: «Релігія Ейнштейна є занадто абстрактною, як у Спінози і в індійській філософії. Бог Спінози менше, ніж особистість; мій Бог більше ніж особистість; оскільки Бог може грати роль особистості ». Можуть існувати духи, які не мають тіла, але можуть спілкуватися з нами і впливати на світ ».

- Як Гедель опинився в Америці? Втік від нацистів?

- Так, він приїхав в Америку в 1940 році з Німеччини, незважаючи на те що фашисти визнали його арійцем і великим ученим, звільнивши від військової служби. Він з дружиною Аделі пробирався через Росію по Транссибірській магістралі. Спогадів про цю подорож він не залишив. Аделі згадує тільки про постійному страху ночами, що зупинять і повернуть назад. Після восьми років проживання в Америці Гедель став громадянином США. Як і всі подають на громадянство, він повинен був відповісти на питання, що стосуються американської Конституції. Будучи скрупульозним людиною, він готувався до цього іспиту дуже ретельно. Нарешті повідомив, що знайшов непослідовність в Конституції: «Я відкрив логічно законну можливість, при якій США може стати диктатурою». Його друзі визнали, що, незалежно від логічних достоїнств аргументу Геделя, ця можливість була чисто гіпотетичною за своїм характером, і застерегли від розлогих розмов на цю тему на іспиті.

- Чи не використовували Гедель і Ейнштейн ідей один одного в науковій роботі?

- У 1949 році Гедель висловив свої космологічні ідеї в математичному есе, яке, на думку Альберта Ейнштейна, було важливим внеском у загальну теорію відносності. Гедель вважав, що час - «ця таємнича і одночасно самосуперечності сутність, яка формує основу світу і нашого власного існування», - врешті-решт стане найбільшою ілюзією. Воно «колись» перестане існувати, і наступить інша форма буття, яку можна назвати вічністю. Таке уявлення про час привело великого логіка до несподіваного висновку. Він писав: «Я переконаний в посмертне існування, незалежно від теології. Якщо світ є розумно сконструйованим, тоді має бути посмертне існування ».

- «Час - самосуперечності сутність». Дивно звучить; це має якийсь фізичний зміст?

- Гедель показав, що в рамках рівняння Ейнштейна можна побудувати космологічних моделях із замкнутим часом, де віддалене минуле і віддалене майбутнє збігаються. У цій моделі стає теоретично можливим подорож в часі. Це звучить дивно, але це математично виразність - ось в чому справа. Ця модель може мати експериментальні слідства, а може і не мати. Вона є теоретичною конструкцією, яка може виявитися корисною при побудові нових космологічних моделей - а може виявитися зайвою. Сучасна теоретична фізика, зокрема квантова космологія, має настільки складною математичною структурою, що цим структурам дуже складно дати однозначну філософське осмислення. Більш того, деякі її теоретичні конструкції поки є експериментально непроверяемимі по тій простій причині, що для своєї перевірки вимагають виявлення дуже високоенергетичних часток. Пам'ятайте, як народ переполошився з приводу запуску Великого адронного коллайдера: засоби масової інформації постійно лякали людей наближенням кінця світу. Насправді, ставилося серйозний науковий експеримент з перевірки моделей квантової космології і так званих «теорій великого об'єднання». Якби вдалося виявити так звані частки Хіггса, то це стало б черговим кроком в нашому розумінні самих ранніх стадій існування нашого Всесвіту. Але поки немає експериментальних даних, конкуруючі моделі квантової космології продовжують залишатися просто математичними моделями.

Віра і інтуїція

- «... Мій Бог більше ніж особистість; оскільки Бог може грати роль особистості ... »Все-таки віра Геделя далека від православного віросповідання?

- Збереглося дуже мало висловлювань Геделя про його вірі, вони по крихтах зібрані. Незважаючи на те що перші начерки власної версії аргументу Гедель зробив ще в 1941 році, до 1970-го, боячись насмішок своїх колег, він не говорив про це. У лютому 1970-го, відчувши наближення смерті, він дозволив своїй помічниці скопіювати версію свого докази. Після смерті Геделя в 1978 році в його паперах була виявлена ​​дещо інша версія онтологічного аргументу. Дружина Курта Геделя, Аделі, через два дні після смерті чоловіка сказала, що Гедель, «хоча і не ходив до церкви, був віруючим і читав Біблію в ліжку кожного недільного ранку».

Коли ми говоримо про таких вчених, як Гедель, Енштейн або, скажімо, Галілей або Ньютон, важливо наголосити на тому, що вони не були атеїстами. Вони бачили, що за Всесвіту стоїть Розум, якась Вища Сила. Для багатьох вчених переконаність в існуванні Вищого Розуму була одним із наслідків їх наукової рефлексії, і не завжди ця рефлексія приводила до виникнення глибокої релігійної зв'язку людини з Богом. Відносно Геделя можна сказати, що він відчував необхідність зв'язку з цим, оскільки підкреслював, що є теїстом, мислить Бога як особистість. Але, зрозуміло, його віру не можна назвати ортодоксальної. Він був, так би мовити, «домашнім лютеранином».

- Ви можете дати історичні приклади: яким шляхом різні вчені приходять до віри в Бога? Ось генетика Френсіса Коллінза, за його визнанням, до віри в Бога привело дослідження структури ДНК ...

- Само по собі природне богопізнання недостатньо для пізнання Бога. Мало, вивчаючи природу, відкрити Бога - важливо навчитися Його пізнавати за допомогою того Одкровення, яке Бог дав людині. Прихід людини до віри - незалежно від того, вчений він чи не вчений, - завжди спирається на щось, що виходить за рамки просто логічних або наукових аргументів. Френсіс Коллінз пише, що прийшов до віри в 27 років після тривалого інтелектуального суперечки з самим собою і під впливом Клайва Стейплза Льюїса. Двоє людей перебувають в одній і тій же історичній ситуації, в одних вихідних умовах: один стає віруючим, інший - атеїстом. Одного вивчення ДНК призводить до переконання в існуванні Бога. Інший вивчає - і не приходить до цього. Двоє людей дивляться на картину: одному вона здається красивою, а інший каже: «Так собі, звичайна картинка!» У одного є смак, інтуїція, а в іншого - ні. Професор Православного Свято-Тихонівського гуманітарного університету Володимир Миколайович Катасонов, доктор філософських наук, математик за першою освітою, каже: «Ніяке доказ в математиці неможливо без інтуїції: математик спочатку бачить картинку, а потім вже формулює доказ».

Питання про прихід людини до віри - це завжди питання, яке виходить за рамки просто логічного міркування. Як пояснити, що тебе привело до віри? Людина відповідає: я ходив до храму, роздумував, читав то-то, побачив гармонію світобудови; але найголовніший, винятковий момент, в який людина раптом пізнає, що він зіткнувся з присутністю Бога, не може бути виражений. Це завжди таємниця.

- Можна позначити проблеми, які не в силах вирішити сучасна наука?

- Все-таки наука - досить впевнене, самостійне і добре що йде підприємство, щоб так різко висловлюватися. Вона є хорошим і дуже корисним інструментом в руках людини. З часу Френсіса Бекона знання дійсно стало силою, яка змінила світ. Наука розвивається відповідно до своїх внутрішніх закономірностями: вчений прагне осягнути закони світобудови, і можна не сумніватися в тому, що цей пошук приведе до успіху. Але в той же час необхідно усвідомлювати і кордони науки. Не слід змішувати науку і ті світоглядні питання, які можуть бути поставлені у зв'язку з наукою. Ключові проблеми сьогодні пов'язані не стільки з науковим методом, скільки з ціннісними орієнтаціями. Наука протягом довгого ХХ століття сприймалася людьми як абсолютне благо, яке сприяє прогресу людства; а ми бачимо, що ХХ століття стало найжорстокішим за людськими жертвами. І тут виникає питання про цінності наукового прогресу, взагалі пізнання. Етичні цінності не випливають з самої науки. Геніальний вчений може винайти зброю для знищення всього людства, і тут виникає питання про моральну відповідальність вченого, на який наука не може відповісти. Наука не може вказати людині сенс і призначення його існування. Наука ніколи не зможе відповісти на питання, чому ми тут? Чому існує Всесвіт? Ці питання вирішуються на іншому рівні пізнання, такому, як філософія і релігія.

- Крім теорем Геделя, чи є ще докази того, що науковий метод має свої межі? Самі вчені це визнають?

- Уже на початку XX століття філософи Бергсон і Гуссерль вказали на відносне значення наукового знання природи. Зараз вже стало майже загальним переконанням серед філософів науки, що наукові теорії представляють гіпотетичні моделі пояснення явищ. Один з творців квантової механіки - Ервін Шредінгер говорив про те, що елементарні частинки є тільки образами, але ми цілком можемо обійтися і без них. На думку філософа і логіка Карла Поппера, наукові теорії подібні мережі, за допомогою якої ми намагаємося зловити світ, вони не схожі на фотографії. Наукові теорії знаходяться в постійному розвитку і зміні. Про межі наукового методу говорили творці квантової механіки, такі як Паулі, Бор, Гейзенберг. Паулі писав: «... Фізика і психіка можуть розглядатися як додаткові аспекти однієї і тієї ж реальності» - і акцентував увагу на незвідність вищих рівнів буття до нижчих. Різні пояснення охоплюють кожного разу лише один аспект матерії, але усеохватна теорія ніколи не буде досягнута.

Краса і гармонія світобудови передбачає можливість його пізнання науковими методами. Разом з тим християни завжди розуміли і незбагненність таємниці, що стоїть за цією матеріального всесвіту. Всесвіт не має підстави в самій собі і вказує на досконалий джерело буття - Бога.