Банаха алгебра - Вікіпедія

Банаха алгеброю над комплексним або дійсним полем називається асоціативна алгебра , Що є при цьому банахових просторах . При цьому множення в ній повинно бути погоджено з нормою:

∀ x, y ∈ A, ‖ xy ‖ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\ displaystyle \ forall x, y \ in A, \ | x \, y \ | \ \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |} $∀ x, y ∈ A, ‖ xy ‖ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\ displaystyle \ forall x, y \ in A, \ | x \, y \ | \ \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |}$ .

Це властивість потрібно для безперервності операції множення щодо норми.

Банаха алгебра називається унітальной або Банаха алгеброю з одиницею , Якщо вона володіє одиницею (Тобто таким елементом 1 {\ displaystyle \ mathbf {1}} $Банаха алгебра називається унітальной або Банаха алгеброю з одиницею , Якщо вона володіє одиницею (Тобто таким елементом 1 {\ displaystyle \ mathbf {1}} , Що для всіх x ∈ A {\ displaystyle x \ in A} справедливо x 1 = 1 x = x {\ displaystyle x \ mathbf {1} = \ mathbf {1} x = x} )$ , Що для всіх x ∈ A {\ displaystyle x \ in A} справедливо x 1 = 1 x = x {\ displaystyle x \ mathbf {1} = \ mathbf {1} x = x} ). При цьому зазвичай вимагають, щоб норма одиниці дорівнювала 1. Якщо одиниця існує, то вона єдина. Будь-яку Банаха алгебру A {\ displaystyle A} можна изометрически вкласти в відповідну їй унітальную Банаха алгебру A e {\ displaystyle A_ {e}} в якості замкнутого двостороннього ідеалу .

Банаха алгебра називається комутативність, якщо операція множення в ній коммутативна .

(Xy) (g) = ∫ G x (h) y (h - 1 g) d μ (h), g ∈ G {\ displaystyle (xy) (g) = \ int _ {G} x (h) y (h ^ {- 1} g) \, \ mathrm {d} \ mu (h), \; g \ in G} $(Xy) (g) = ∫ G x (h) y (h - 1 g) d μ (h), g ∈ G {\ displaystyle (xy) (g) = \ int _ {G} x (h) y (h ^ {- 1} g) \, \ mathrm {d} \ mu (h), \; g \ in G}$ .

деякі елементарні функції можна за допомогою статечних рядів визначити для елементів банахових алгебри. Зокрема, можна визначити експоненту елемента банахових алгебри, тригонометричні функції, і, в загальному випадку, будь-яку цілу функцію . Для елементів банахових алгебри залишається справедливою формула суми нескінченно спадної геометричної прогресії ( ряд Неймана ).

Безліч оборотних елементів I n v (A) {\ displaystyle \ mathrm {Inv} (A)} $Безліч оборотних елементів I n v (A) {\ displaystyle \ mathrm {Inv} (A)} алгебри A {\ displaystyle A} є відкритим безліччю$ алгебри A {\ displaystyle A} є відкритим безліччю. При цьому відображення I n v {\ displaystyle \ mathrm {Inv}} , Зіставляє кожному оборотного елементу зворотний, є гомеоморфізмом . Таким чином, I n v (A) {\ displaystyle \ mathrm {Inv} (A)} - топологічна група.

У унітальной алгебрі одиниця не може бути комутатором: x y - y x ≠ 1 {\ displaystyle xy-yx \ neq \ mathbf {1}} $У унітальной алгебрі одиниця не може бути комутатором: x y - y x ≠ 1 {\ displaystyle xy-yx \ neq \ mathbf {1}} для будь-яких x, y ∈ A$ для будь-яких x, y ∈ A. Звідси випливає, що λ 1, λ ≠ 0 {\ displaystyle \ lambda \ mathbf {1}, \ \ lambda \ neq 0} також не є комутатором.

справедлива теорема Гельфанда - Мазура : Кожна унітальная комплексна банахових алгебра, в якій всі ненульові елементи оборотні, ізоморфна C {\ displaystyle \ mathbb {C}} $справедлива теорема Гельфанда - Мазура : Кожна унітальная комплексна банахових алгебра, в якій всі ненульові елементи оборотні, ізоморфна C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

У унітальних Банаха алгебрах вводиться поняття спектра, яке розширює поняття спектра оператора на більш загальний клас об'єктів.

Елемент a ∈ A {\ displaystyle a \ in A} $Елемент a ∈ A {\ displaystyle a \ in A} алгебри A {\ displaystyle A} називається оборотним, якщо знайдеться такий елемент a - 1 ∈ A {\ displaystyle a ^ {- 1} \ in A} , Що a a - 1 = a - 1 a = 1 {\ displaystyle aa ^ {- 1} = a ^ {- 1} a = \ mathbf {1}}$ алгебри A {\ displaystyle A} називається оборотним, якщо знайдеться такий елемент a - 1 ∈ A {\ displaystyle a ^ {- 1} \ in A} , Що a a - 1 = a - 1 a = 1 {\ displaystyle aa ^ {- 1} = a ^ {- 1} a = \ mathbf {1}} . Спектром σ (a) {\ displaystyle \ sigma (a)} елемента a {\ displaystyle a} називається безліч таких λ ∈ C, {\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C},} що елемент a - λ 1 {\ displaystyle a- \ lambda \ mathbf {1}} незворотній. Спектр всякого елемента унітальной комплексної банахових алгебри - непорожній компакт. З іншого боку, для будь-якого компакта K ⊂ C {\ displaystyle K \ subset \ mathbb {C}} спектр елемента w {\ displaystyle w} з алгебри C (K) {\ displaystyle C (K)} , Що визначається за формулою w (z) = z {\ displaystyle w (z) = z} , Збігається з K {\ displaystyle K} , Тому інших обмежень на спектр елемента в довільній Банаха алгебри немає.

Спектральним радіусом r (x) {\ displaystyle \ mathrm {r} (x)} $Спектральним радіусом r (x) {\ displaystyle \ mathrm {r} (x)} елемента x ∈ A {\ displaystyle x \ in A} називається величина$ елемента x ∈ A {\ displaystyle x \ in A} називається величина

r (x) = sup {| λ | : Λ ∈ σ (x)} {\ displaystyle \ mathrm {r} (x) = \ sup \ {| \ lambda |: \ lambda \ in \ sigma (x) \}} $r (x) = sup {| λ | : Λ ∈ σ (x)} {\ displaystyle \ mathrm {r} (x) = \ sup \ {| \ lambda |: \ lambda \ in \ sigma (x) \}}$ .

справедлива формула Бёрлінга -Гельфанда для спектрального радіусу:

r (x) = lim n → ∞ ‖ x n ‖ 1 / n. {\ Displaystyle \ mathrm {r} (x) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | x ^ {n} \ | ^ {1 / n}.}

Резольвентних безліччю елемента a ∈ A {\ displaystyle a \ in A} $Резольвентних безліччю елемента a ∈ A {\ displaystyle a \ in A} називається безліч ρ (a) = C ∖ σ (a) {\ displaystyle \ rho (a) = \ mathbb {C} \ setminus \ sigma (a)}$ називається безліч ρ (a) = C ∖ σ (a) {\ displaystyle \ rho (a) = \ mathbb {C} \ setminus \ sigma (a)} . Резольвентних безліч елемента банахових алгебри завжди відкрито. Резольвенти елемента a ∈ A {\ displaystyle a \ in A} називається функція комплексної змінної R a: ρ (a) → A {\ displaystyle R_ {a} \ colon \ rho (a) \ to A} , Яка визначається формулою R a (λ) = (λ 1 - a) - 1 {\ displaystyle R_ {a} (\ lambda) = (\ lambda \ mathbf {1} -a) ^ {- 1}} . Резольвента елемента банахових алгебри є голоморфної функцією .

Якщо f {\ displaystyle f} $Якщо f {\ displaystyle f} - голоморфна в околиці D ⊂ C {\ displaystyle D \ subset \ mathbb {C}} спектра σ (a) {\ displaystyle \ sigma (a)} функція, можна визначити f (a) ∈ A {\ displaystyle f (a) \ in A} за формулою$ - голоморфна в околиці D ⊂ C {\ displaystyle D \ subset \ mathbb {C}} спектра σ (a) {\ displaystyle \ sigma (a)} функція, можна визначити f (a) ∈ A {\ displaystyle f (a) \ in A} за формулою

f (a) = 1 2 π i ∫ γ f (λ) R a (λ) d λ {\ displaystyle f (a) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} f (\ lambda) R_ {a} (\ lambda) \, \ mathrm {d} \ lambda} $f (a) = 1 2 π i ∫ γ f (λ) R a (λ) d λ {\ displaystyle f (a) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} f (\ lambda) R_ {a} (\ lambda) \, \ mathrm {d} \ lambda} ,$ ,

де γ {\ displaystyle \ gamma} $де γ {\ displaystyle \ gamma} - спрямляются Жорданія контур, що лежить в D {\ displaystyle D} , Що містить спектр елемента x {\ displaystyle x} і орієнтований позитивно, а R a {\ displaystyle R_ {a}} - резольвента елемента a {\ displaystyle a}$ - спрямляются Жорданія контур, що лежить в D {\ displaystyle D} , Що містить спектр елемента x {\ displaystyle x} і орієнтований позитивно, а R a {\ displaystyle R_ {a}} - резольвента елемента a {\ displaystyle a} . Зокрема, за допомогою цієї формули можна визначити експоненту елемента з Банаха алгебри.

Нехай A - унітальная комутативна Банаха алгебра над полем комплексних чисел. Характером χ алгебри A називається ненульовий лінійний функціонал , Що володіє властивістю мультипликативности: для будь-яких a, b ∈ A справедливо χ (ab) = χ (a) χ (b) і χ (1) = 1. Тобто характер - це ненульовий гомоморфізм алгебри A і C {\ displaystyle \ mathbb {C}} Нехай A - унітальная комутативна Банаха алгебра над полем комплексних чисел . Можна перевірити, що всякий характер в банахових алгебри безперервний і його норма дорівнює 1.

ядро характеру являє собою максимальний ідеал в A. Якщо m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}} ядро характеру являє собою максимальний ідеал в A - максимальний ідеал, то факторалгебра A / m {\ displaystyle A / {\ mathfrak {m}}} є полем і Банаха алгеброю, тоді, по теоремі Гельфанда-Мазура, вона ізоморфна C {\ displaystyle \ mathbb {C}} . Тому кожному максимальному ідеалу m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}} можна поставити у відповідність єдиний характер χ такий, що ker χ = m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}} . Цей характер визначається як композиція факторотображенія і ізоморфізму A / m {\ displaystyle A / {\ mathfrak {m}}} в C {\ displaystyle \ mathbb {C}} . Таким чином між безліччю характерів і безліччю максимальних ідеалів встановлена біекція.

Безліч всіх характерів називається простором максимальних ідеалів або спектром алгебри A і позначається Spec A. Це безліч можна наділити топологією, успадкованої від слабкої * топології (топології поточечной збіжності) в зв'язаному просторі A *. з теореми Банаха-Алаоглу і замкнутості Spec A випливає, що Spec A - компактне хаусдорфово топологічний простір .

Перетворенням Гельфанда елемента a {\ displaystyle a} $Перетворенням Гельфанда елемента a {\ displaystyle a} алгебри A називається безперервна функція a ^: S p e c A → C {\ displaystyle {\ hat {a}} \ colon \ mathrm {Spec} \, A \ to \ mathbb {C}} , Яка визначається за формулою a ^ (χ) = χ (a) {\ displaystyle {\ hat {a}} (\ chi) = \ chi (a)} для всіх характерів χ$ алгебри A називається безперервна функція a ^: S p e c A → C {\ displaystyle {\ hat {a}} \ colon \ mathrm {Spec} \, A \ to \ mathbb {C}} , Яка визначається за формулою a ^ (χ) = χ (a) {\ displaystyle {\ hat {a}} (\ chi) = \ chi (a)} для всіх характерів χ. Перетворення Гельфанда здійснює стискає гомоморфізм алгебри A в алгебру C (Spec A) безперервних функцій на компакті.

радикалом алгебри A називається перетин всіх її максимальних ідеалів. Якщо радикал складається тільки з нуля, алгебра A називається полуприем. Ядро перетворення Гельфанда збігається з радикалом алгебри, тому перетворення Гельфанда ін'єкційних тоді і тільки тоді, коли алгебра A полуприем. Таким чином, будь-яка полуприем комутативна Банаха алгебра з одиницею збігається з точністю до ізоморфізму з деякою алгеброю функцій, безперервних на компакті - з образом перетворення Гельфанда.

Наймарк М. А. Нормовані кільця. - М.: Наука, 1968. - 664 с.
Хелемський А. Я. Лекції з функціонального аналізу. - М.: МЦНМО, 2004. - ISBN 5-94057-065-8 .
Хелемський А. Я. Банаха і полінормірованние алгебри: загальна теорія, уявлення, гомології. - М.: Наука, 1989. - ISBN 5-02-014192-5 .